离散数学量词分配等值式

Question

为什么存在量词对合取不分配
存在量词只对析取分配，全称量词只对合取分配

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

在离散数学和抽象代数中，量词分配律是逻辑推理中的基本规则，它们描述了如何将量词（即“所有”和“存在”）与逻辑联接词（如合取and、析取or）结合使用。根据这些定律，全称量词与合取分配，而存在量词与析取分配。这意味着当我们有一个包含量词的复合命题时，我们可以调整其结构而不改变其真值。

具体来说，我们有以下分配律：

1. 全称量词与合取分配： 如果我们有一个公式 ∀x[P(x) ∧ Q(x)]，可以等价地写成 ∀xP(x) ∧ ∀xQ(x)。 这意味着对于所有的 x，P(x) 和 Q(x) 同时成立，等同于 P(x) 对所有 x 成立且 Q(x) 也对所有 x 成立。

2. 存在量词与析取分配： 类似地，如果我们有一个公式 ∃x[P(x) ∨ Q(x)]，可以等价地写成 ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)。 这意味着存在至少一个 x 使得 P(x) 或者 Q(x) 成立，等同于存在某个 x 使得 P(x) 成立，或者存在另一个 x 使得 Q(x) 成立。

然而，存在量词并不对合取分配，全称量词也不对析取分配。这是因为这两个分配律会导致逻辑错误。例如：

• 如果存在量词对合取分配，则会有这样的等价：∃x[P(x) ∧ Q(x)] ≡ ∃xP(x) ∧ ∃xQ(x)。但这个等式在某些情况下是错误的。比如，考虑 P(x): "x 是偶数" 和 Q(x): "x 是奇数"。显然，不存在一个 x 同时满足 P(x) 和 Q(x)，但仍然可以说存在一个偶数和一个奇数。

• 相反，如果全称量词对析取分配，则会有 ∀x[P(x) ∨ Q(x)] ≡ ∀xP(x) ∨ ∀xQ(x)。这同样会导致错误。例如，假设在一个集合中，所有元素要么是红色要么是蓝色，那么可以说对于所有元素，它是红色或蓝色。但这并不意味着所有元素都是红色，并且所有元素都是蓝色。

因此，在逻辑推理中，我们必须记住这些分配律，并正确应用它们，以确保我们的论证是正确的。