问题应用中关于算法的

Question

运筹学中对于Graham提出的LS算法，求LS算法的问题应用，需要举例说明并写出代码的每一步的含义

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

LS（List Sorting）算法是William H. Graham在1960年提出的一种用于解决旅行商问题（TSP，Traveling Salesman Problem）的启发式算法。它是一种贪心算法，通过将距离矩阵排序，然后构建一个初始解，再进行局部改进来寻找近似最优解。

下面是一个简单的例子，我们先定义一个5个城市的问题，然后创建一个距离矩阵，接着实现LS算法。

首先，我们定义城市及其坐标：

#include <iostream>
#include <vector>

struct City {
    int id;
    double x, y;
};

City cities[] = { 
    { 0, 0.0, 0.0 }, 
    { 1, 1.0, 0.0 }, 
    { 2, 1.0, 1.0 }, 
    { 3, 0.0, 1.0 }, 
    { 4, 0.5, 0.5 } 
};

接下来，我们计算并存储城市之间的距离：

#include <cmath>

double distance(City city1, City city2) {
    return std::sqrt(std::pow(city1.x - city2.x, 2) + std::pow(city1.y - city2.y, 2));
}

std::vector<std::vector<double>> calculateDistances(const std::vector<City>& cities) {
    std::vector<std::vector<double>> distances(cities.size(), std::vector<double>(cities.size()));
    for (size_t i = 0; i < cities.size(); ++i) {
        for (size_t j = 0; j < cities.size(); ++j) {
            if (i != j)
                distances[i][j] = distance(cities[i], cities[j]);
        }
    }
    return distances;
}

现在，我们实现LS算法：

std::vector<int> listSortingAlgorithm(const std::vector<City>& cities) {
    const auto& distances = calculateDistances(cities);
    std::vector<int> tour(cities.size());
    tour[0] = 0;

    // 根据距离对剩余的城市进行排序
    for (size_t i = 1; i < cities.size(); ++i) {
        int minDistanceIndex = 0;
        double minDistance = distances[tour[i - 1]][0];
        for (size_t j = 1; j < cities.size(); ++j) {
            if (distances[tour[i - 1]][j] < minDistance) {
                minDistance = distances[tour[i - 1]][j];
                minDistanceIndex = j;
            }
        }
        tour[i] = minDistanceIndex;
    }

    // 循环闭合路径
    tour.push_back(tour[0]);

    return tour;
}

最后，我们打印出LS算法得到的路径：

int main() {
    std::vector<int> tour = listSortingAlgorithm(cities);
    std::cout << "LS Algorithm Tour: ";
    for (const auto& city_id : tour) {
        std::cout << city_id << " -> ";
    }
    std::cout << tour.front() << std::endl;

    return 0;
}

这个例子展示了如何使用LS算法解决一个简单的二维空间中的旅行商问题。注意，LS算法并不保证找到全局最优解，但在某些情况下可以提供相当好的近似解。实际应用时，可能还需要进行更多的优化步骤，例如使用更复杂的初始解构造方法、迭代改善等。