如何不硬算得到这个式子的结果

Question

到这一步不知道怎么才能继续算下去，感觉结果得到的式子是有规律，不像硬算出来的（用反推能推出来结果是对的）；但是正推不知道该怎么算下去

线性代数 行列式的计算

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

为了证明给定的等式，我们首先分析每个部分，并利用链式法则将它们转换为关于( s )和( t )的函数的偏导数。

给定的表达式是： [ \frac{3}{y} \cdot \frac{\partial}{\partial x} - a(u, v) \cdot a(x, y) + a(u, v) \cdot a(y, z) + a(u, v) \cdot a(z, x) ] 乘以 [ a(x, y) \cdot a(s, t) + a(y, z) \cdot a(s, t) + a(z, x) \cdot a(s, t) ] 然后展开并组合项，最终目标是将其简化为： [ (uz_{sx} + uy_{sy} + uz_{sz})(v_x + vy + vz) - (ux_{tx} + uy_{ty} + uz_{tz})(vx + vy + vz) ]

首先，我们将 ( u ), ( v ), ( x ), ( y ), 和 ( z ) 的偏导数表示为 ( s ) 和 ( t ) 的函数。对于 ( u ) 和 ( v )，我们有： [ \begin{align*} u_x &= u_{sx} \cdot x_s + u_{sy} \cdot y_s + u_{sz} \cdot z_s \ u_y &= u_{sx} \cdot x_y + u_{sy} \cdot y_y + u_{sz} \cdot z_y \ u_z &= u_{sx} \cdot x_z + u_{sy} \cdot y_z + u_{sz} \cdot z_z \end{align*} ] 类似地，对于 ( v ) 也是如此。

接下来，我们需要计算 ( a(u, v) \cdot a(x, y) ) 等项的表达式。由于没有具体的 ( a ) 函数定义，我们可以假设它是一个一般的标量积形式，即： [ a(u, v) = u \cdot v ] 那么： [ a(x, y) = x \cdot y ] [ a(y, z) = y \cdot z ] [ a(z, x) = z \cdot x ]

因此，上述表达式可以写成： [ \begin{align*} a(u, v) \cdot a(x, y) &= (u \cdot v) \cdot (x \cdot y) \ a(u, v) \cdot a(y, z) &= (u \cdot v) \cdot (y \cdot z) \ a(u, v) \cdot a(z, x) &= (u \cdot v) \cdot (z \cdot x) \end{align*} ]

将这些表达式带入原始方程，我们得到： [ \begin{align*} &\frac{3}{y} \cdot \left[ u_{sx} \cdot x_s + u_{sy} \cdot y_s + u_{sz} \cdot z_s \right] - (u \cdot v) \cdot [x \cdot y] \cdot [x_s \cdot s + y_s \cdot t] \ &+ (u \cdot v) \cdot [y \cdot z] \cdot [y_s \cdot s + z_s \cdot t] + (u \cdot v) \cdot [z \cdot x] \cdot [z_s \cdot s + x_s \cdot t] \end{align*} ]

继续展开并合并项，我们会得到一个复杂的多项式，但是按照题目要求，我们应该能找到一个模式来简化它。然而，由于 ( a ) 函数的具体形式未知，这个过程可能会相当复杂，而且可能需要一些技巧来识别出潜在的简化方式。

在没有具体 ( a ) 函数的情况下，这个过程会很困难。如果你能提供 ( a ) 函数的定义，那么我们就可以继续进行更详细的步骤。如果你只是想了解一般的方法，那么这就是目前能提供的步骤。通常，这样的问题涉及到大量的符号运算和观察，以找到可以简化表达式的结构。

如果你想要尝试手动完成这个过程，我建议你先从最简单的项开始，比如那些只包含一阶偏导数的部分，然后再处理更高阶的项。同时，注意使用链式法则来替换 ( x ), ( y ), 和 ( z ) 关于 ( s ) 和 ( t ) 的偏导数。