数学建模，尽量用matlab回答，论文格式

Question

一种太阳能光热发电的能量汇聚系统简化后如图1所示。平行光线先经过若干个长度不超过2.5的直线段反射到曲线 EF 上，再经过曲线 EF 反射后汇聚到直线段 CD 上。已知 AB 的长度为400, CD 的长度为10, OG 的高度为100。请设计曲线 EF 的长度和形状，在设计好曲线 EF 后，给出下列问题的解答。
问题1当入射的平行光线与 AB 的夹角为90度时，请安排长度不超过2.5的直线段的数量、每个直线段的位置和角度，使得与 AB 垂直的光线经过两次反射后进入 CD 区间内的比例最大。
问题2当入射的平行光线与 AB 的夹角从45度变化到90度的过程中，请给出长度不超过2.5的直线段的数量、位置和角度的调整方案，使得光线经过两次反射后进入 CD 区间内的比例最大。
问题3能否将长度为不超过2.5的直线段改为长度不超过2.5的光滑曲线，通过对每一段长度不超过2.5的光滑曲线形状和位置的设计以及角度变化的调整，使得当入射平行光线与 AB 的夹角从45度变化到90度的过程中，光线经过两次反射后进入 CD 区间的比例有所提高

Answer 1

🕖上午好，题主！目前：🟢[在线]
📢参考通义千问、由郭老师整理提供！
📣今日诗号：相思一夜梅花发，忽到窗前疑是君。

为了帮助你解决这个问题，我将提供一个简化的MATLAB模型来设计曲线EF并分析问题。首先，我们需要定义一些变量和参数，然后使用优化算法来找到最佳的曲线长度和形状。请注意，这是一个简化模型，实际应用中可能需要更复杂的几何和物理模型。

% 定义参数
AB_length = 400; % AB的长度
CD_length = 10; % CD的长度
OG_height = 100; % OG的高度
max_reflection_angle = 90; % 最大入射角
segment_length_limit = 2.5; % 直线段长度限制

% 创建一个函数来计算光线经过两次反射后的比例
function reflection_ratio = calculate_reflection_ratio(theta, curve_length, curve_shape)
    % 在这里添加你的曲线反射模型的代码，这可能涉及到几何计算和光学定律
    % 假设我们有一个简单的模型，光线在曲线上反射的角度与入射角相同
    % 曲线反射后到达CD区间的光线角度
    reflected_angle = theta;
    
    % 光线通过曲线后到达CD的距离
    distance_to_CD = AB_length * tan(reflected_angle) + curve_length * tan(reflected_angle);
    
    % 入射到CD的光线比例
    reflection_ratio = CD_length / distance_to_CD;
end

% 问题1：当入射角为90度时
theta_90 = 90;
optimal_curve_length = fmincon(@(x) -calculate_reflection_ratio(theta_90, x, ...), % 调整曲线长度以最大化比例
                            segment_length_limit, [], [], [], [], [0, segment_length_limit]); % 约束条件

% 问题2：从45度到90度的范围
angles = linspace(45, 90, 100); % 生成角度数组
[reflection_ratios, optimal_positions] = arrayfun(@(theta) [calculate_reflection_ratio(theta, segment_length_limit, ...), segment_length_limit], angles, 'UniformOutput', false);

% 找到最大比例对应的参数
[max_reflection_ratio_2, max_index] = max(reflection_ratios);
theta_max_2 = angles(max_index);
optimal_position_2 = optimal_positions{max_index};

% 问题3：使用光滑曲线
% 这部分可能需要更复杂的几何模型，例如贝塞尔曲线或样条曲线
% 你可以尝试使用fmincon或lsqcurvefit等优化工具对光滑曲线的参数进行调整
% 但请注意，光滑曲线的参数化和优化可能比直线段更复杂

% 由于代码限制，这里仅提供了基本框架，你需要根据具体模型和要求填充细节部分。如果你需要完整的代码实现，可能需要考虑使用MATLAB的符号数学工具箱或者优化工具箱（如fmincon）进行求解。