关于卡方分布公式的问题，n与n-1

Question

这两个公式有什么区别？？为何会有这样的区别？他们又是如何转换来的？求解答！！

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

在统计学中，卡方（χ²）分布是一个连续概率分布，它通常用于独立性检验、拟合优度检验以及方差分析等场合。卡方分布的形成基于一个重要的定理——中心极限定理，该定理指出，如果大量独立同分布的随机变量的均值接近于零，并且它们的方差是有限的，那么这些随机变量之和除以其标准差的平方根会趋向于正态分布。

在不同的统计应用中，卡方分布的形式可能会有所不同，主要体现在自由度（degrees of freedom，记作df）上。自由度反映了数据中的独立信息量，对于卡方分布而言，自由度通常等于样本数量减去一些参数的估计次数。这是因为在计算某些统计量（如样本方差）时，我们可能需要利用额外的信息来估计模型参数，这样就减少了数据点的独立性。

以下是两种不同情况下的卡方分布及其自由度的解释：

1. 样本方差与总体方差的差异检验 (图1) 在这个场景中，我们有一个来自正态分布总体的样本，我们想要测试样本方差（s²）是否显著不同于总体方差（σ²）。由于我们不知道总体方差的确切值，我们需要用样本方差来估计总体方差。当我们用样本方差来替代总体方差时，自由度就会减少1，因为样本方差已经由n个观测值确定，而总体方差则由n个观测值和一个额外的参数（总体方差）确定。所以这里的卡方分布的自由度为df = n - 1。

公式: [ X^2 = \frac{n s^2}{\sigma^2} ] 其中 ( X^2 ) 是卡方统计量，( n ) 是样本大小，( s^2 ) 是样本方差，( \sigma^2 ) 是总体方差（这里被替换为 ( ns^2 )，因为总体方差未知）。

1. 正态总体平均数未知的情况 在这种情况下，我们不仅对总体方差不了解，还对总体的平均数（μ）也不清楚。为了构建卡方统计量，我们使用样本平均数（(\bar{X})）作为总体平均数的估计。同样地，这个估计过程也减少了自由度。因为我们用了一个额外的参数（样本均值）来估计总体均值，所以自由度变为 n - 1。

公式: [ X^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2}{(n-1)s^2} ] 其中 ( X_1, X_2, ..., X_n ) 是样本中的观察值，( \bar{X} ) 是样本均值，( s^2 ) 是样本方差，( n ) 是样本大小。

总结一下，卡方分布的自由度通常为n-1的原因在于样本方差或样本均值的估计过程中，我们利用了样本数据的一部分信息，从而减少了数据的独立程度。这导致了自由度的减少，进而影响了卡方分布的具体形式和性质。在进行显著性检验时，我们使用自由度为n-1的卡方分布来进行比较。