时间复杂度计算试卷难题

Question

有没有牛人做一哈，我搜不到正确答案不知道自己写的是不是对的。

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

当然可以，让我们一步步解决这些问题。

第四题 - 0-1背包问题

这是一个经典的优化问题，我们可以通过贪心策略来解决。按照价值与体积比值从高到低排序物品，然后尽可能地将物品加入背包，直到背包满为止。在这个例子中，物品及其属性如下：

| 物品 | 价值 v[i] | 体积 w[i] | | ---- | -------- | -------- | | 1 | 7 | 2 | | 2 | 3 | 1 | | 3 | 4 | 2 | | 4 | 12 | 4 | | 5 | 6 | 1 |

首先，我们对物品按照价值/体积的比值进行降序排列：

| 序号 | 物品 | 比值 (v/w) | 价值 v[i] | 体积 w[i] | | ---- | ---- | ---------- | -------- | -------- | | 4 | 4 | 3 | 12 | 4 | | 1 | 1 | 3.5 | 7 | 2 | | 5 | 5 | 6 | 6 | 1 | | 2 | 2 | 3 | 3 | 1 | | 3 | 3 | 2 | 4 | 2 |

按照这个顺序，我们可以开始尝试将物品放入背包：

1. 尝试放第4个物品（12, 4），背包剩余容量为6 - 4 = 2。
2. 尝试放第1个物品（7, 2），背包满了，无需再添加其他物品。

因此，最大价值为12 + 7 = 19，最优解向量 x[n] 为：(1, 0, 0, 1, 0)，即选择第1和第4个物品。

第五题 - C语言 rand() 函数

(1) rand() 函数通常不是真正的随机数，它是一个伪随机数生成器。它根据给定的种子（通常是当前时间）生成一系列看起来随机但实际上可预测的数字序列。

(2) rand() 的范围取决于它的返回类型。在标准C库中，rand() 返回的是 int 类型，其范围一般是从 RAND_MIN 到 RAND_MAX，这两个宏定义在 <stdlib.h> 头文件中。默认情况下，RAND_MIN 通常是 -32768，而 RAND_MAX 通常是 32767。

(3) 要生成 [1, 150] 区间内的随机整数，可以使用下面的公式：

int random_number = 1 + ((RAND_MAX - RAND_MIN + 1) * rand()) / (RAND_MAX + 1);
random_number %= 150;

这段代码首先确保随机数在 RAND_MIN 到 RAND_MAX 之间均匀分布，然后将其映射到 [0, 149] 区间，最后加上1得到 [1, 150] 区间的随机整数。

第六题 - A* 算法寻找最短路径

由于这里没有提供完整的迷宫状态矩阵，我将假设一个简单的示例，并展示如何构建A*搜索的解空间树。假设迷宫如下：

1 1 0 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 0 1
0 0 0 0 1
1 1 1 0 1

起点 (3, 2)，终点 (4, 4)。

A*搜索包括三个主要部分：启发式估计（h）、实际代价（g）和总成本（f）。在这里，我们可以使用曼哈顿距离作为启发式估计，即 h = |dx| + |dy|，其中 dx 是目标点的 x 坐标与当前位置的差，dy 同理。

以下是解空间树的前两层示例：

level 0:
(3, 2) g=0 h=4 f=4
level 1:
(3, 1) g=1 h=3 f=4
(3, 3) g=1 h=2 f=3
(2, 2) g=1 h=5 f=6
(4, 2) g=1 h=2 f=3
...

继续扩展，直到找到终点 (4, 4) 或者遍历完所有可能的邻居节点。这需要编写一个递归函数来实现A*搜索，但是由于格式限制，这里不提供完整的代码。你需要理解如何根据当前节点的坐标更新g、h和f值，以及如何选择下一个待探索的节点（通常是最小f值的节点）。

至于第一个问题，关于计算机的速度和时间复杂度的估算，通常我们需要知道具体微机的CPU频率，但这里假设你只需要一个理论上的估算。如果一个算法的时间复杂度是 O(n^3)，当 n 约等于 10^6 时，大约会用时1秒，因为 n^3 的增长非常快。然而，实际运行时间还会受到硬件、编译器优化等因素影响。

第二个问题中的 f 函数是斐波那契数列的一个变种。我们可以使用迭代方法计算 f(n)，而不是递归，这样可以减少栈溢出的风险。时间复杂度为 O(log n)，因为每次递归调用都会将问题规模减半。对于n为多少时，f函数大概用时1秒的问题，我们需要先计算出 f(n) 在1秒内的时间复杂度，然后反推出 n 的值。由于这个问题依赖于具体的计算机性能，我们可以通过编程来估算。

如果你需要这些算法的具体代码实现，我可以为你提供。