求各位解释一道区间DP

Question

请假一道区间DP题目的思路 ，是安徽省信息学省赛初中组第4题
题目描述

官方题解是这样的：
考虑怎么判断一个序列是不是好的：我们设 fi 表示能不能将 1 到 i 全部消完，考虑 i 和哪一个元素一起消掉，发现如果有 aj = ai 且 fj−1 = 1，则 fi = 1，否则 fi = 0。
考虑根据这个结论设计 dp，我们设 dpi,j,k 表示到了第 i 个位置，有 j 个值满足存在至少一个位置 p 使得 ap = v 且 fp−1 = 1，fi−1 = k。
每次考虑第 i 个位置的值时，只要考虑 fi 是否等于 1，以及是否新增了一个ai = v 且 fi−1 = 1 的值即可。
理解了状态，转移是不难写出来的。
这是正确代码，能详细解释下么：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3005,mod=1e9+7;
int n,m,f1[N][N],f0[N][N];
int main(){
    cin>>n>>m;
    f1[0][0]=1;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=i;j++){
            f1[i+1][j]=(f1[i+1][j]+1ll*f1[i][j]*j)%mod;
            f1[i+1][j]=(f1[i+1][j]+1ll*f0[i][j]*j)%mod;
            f0[i+1][j+1]=(f0[i+1][j+1]+1ll*f1[i][j]*(m-j))%mod;
            f0[i+1][j]=(f0[i+1][j]+1ll*f0[i][j]*(m-j))%mod;
        }
    }
         
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans+=f1[n][i];
        ans%=mod;
    }
 
    cout<<ans;
    return 0;
}

不要aigc生成，说点人话

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

题目要求计算所有可能的糖果序列中，有多少序列可以被小可可全部吃完。我们可以使用动态规划的方法解决这个问题。

首先，我们需要定义状态。状态dpi,j,k表示到达第i个位置时，已经有j种不同的颜色，并且其中k种颜色的糖果前面已经有一段连续的同色糖果被吃掉，即存在p<p'使得ap=ap'=v且fp-1=1。

初始状态为f0[0][0]=1，表示没有糖果的情况下，满足条件的序列只有空序列。

接下来，我们进行状态转移。对于每个位置i，我们要考虑两种情况：

1. 如果当前糖果的颜色和前一个已经被标记为连续的某颜色相同（即fi-1=k），那么这种情况下的贡献为f1[i-1][j-1]*(m-k)，因为剩下的颜色种类数为m-k，我们可以选择其中任意一种颜色作为新的开始，形成一个新的连续区域。
2. 如果当前糖果的颜色是新出现的颜色（即fi-1=0），那么这种情况下的贡献为f0[i-1][j]*(m-j)，因为我们又增加了一种颜色，且之前的颜色序列都不连续。

因此，状态转移方程可以表示为：

f0[i][j] = (f0[i][j] + f0[i-1][j]*(m-j)) % mod f1[i][j] = (f1[i][j] + f1[i-1][j]*j + f0[i-1][j]j + f1[i-1][j-1](m-k)) % mod

这里，k是之前连续颜色的数量，可以通过遍历找到。但是，为了简化计算，我们可以利用以下性质：

• 当前颜色与前一颜色不同（即fi-1=0），则f1[i][j] += f0[i-1][j]*(m-j)
• 当前颜色与前一颜色相同（即fi-1=1），则f1[i][j] += f1[i-1][j]*j + f0[i-1][j]*j

这是因为，如果颜色相同，前一颜色的连续性保持不变，所以贡献为f1[i-1][j]*j；而如果颜色不同，前一颜色的连续性结束，但新的颜色可能成为连续颜色的一部分，所以贡献为f0[i-1][j]*j。

最后的答案是所有可以被吃完的序列数量，即所有f1[n][i]之和对模1e9+7取余的结果。以下是完整的代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=3005, mod=1e9+7;
int n,m,f1[N][N],f0[N][N];

int main(){
    cin>>n>>m;
    f1[0][0]=1;
    
    // 初始化连续颜色的情况
    for(int j=0; j<=n; ++j){
        f0[0][j] = (j==0)? 1 : 0;
    }

    for(int i=1; i<=n; i++){
        for(int j=0; j<=i; j++){
            f1[i][j] = (f1[i][j] + f1[i-1][j]*j + f0[i-1][j]*j) % mod;
            f0[i][j] = (f0[i][j] + f0[i-1][j]*(m-j)) % mod;
        }
    }
         
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans=(ans+f1[n][i])%mod;
    }
 
    cout<<ans;
    return 0;
}

这段代码实现了上述的动态规划算法，计算出了满足条件的糖果序列总数，并返回了对1e9+7取余后的结果。