Givens变换算法设计题

Question

1.已知A = R + uv T(转置),其中R ∈ Rn×n为上三角矩阵，u, v ∈ Rn为非零向量，试给出计算A的QR分解的有效算法。（使用Givens变换，使运算量为O(n2)）

2.设A.B∈ Rn×n是两个上三角矩阵 α∈ Rn是给定常数，且AB-Iα非奇异。试设计求解(AB-Iα)X=b的算法，使得运算量为O(n2)。

3.设A∈ Rn×n是一个对角加边矩阵，如图，试给出用Givens变换计算A的QR分解的详细算法，使得运算量不超过O（n2）

​

Answer 1

以下内容由CHATGPT及阿里嘎多学长共同生成、有用望采纳：

---

Givens变换是一种在数值线性代数中广泛使用的矩阵变换方法，主要用于矩阵的三角化和QR分解。下面是针对您提出的问题的一些解答思路和算法设计概述：

问题1: 计算矩阵( A = R + uv^T )的QR分解

算法设计思路：

1. 首先，将矩阵( A )与( uv^T )相加，得到完整的矩阵( A )。
2. 使用Givens旋转来零化( A )的下三角部分，从而将其转换为上三角矩阵( R )。
3. 同时，记录下每次Givens旋转的变换矩阵，这些变换矩阵的乘积将给出正交矩阵( Q )。
4. 最终，( QR )分解由( A = Q \times R )给出。

运算量分析： 每次Givens旋转涉及的运算量为( O(n) )，由于需要对( n )个列进行旋转，总运算量为( O(n^2) )。

问题2: 解线性方程组( (AB - I\alpha)X = b )

算法设计思路：

1. 首先，计算矩阵( AB )。
2. 从( AB )中减去单位矩阵( I )乘以( \alpha )，得到( AB - I\alpha )。
3. 由于( A )和( B )都是上三角矩阵，( AB - I\alpha )也是上三角矩阵。
4. 使用后置换法（Back Substitution）来解上三角线性方程组。

运算量分析： 计算( AB )的运算量为( O(n^2) )，后置换法的运算量为( O(n^2) )，总运算量为( O(n^2) )。

问题3: 对角加边矩阵( A )的QR分解

算法设计思路：

1. 对于对角加边矩阵，即对角线上的元素相同，且存在非零的超对角线元素（即边元素）。
2. 使用Givens旋转首先处理超对角线元素，将其转换为零。
3. 然后，对得到的上三角矩阵进行QR分解。

运算量分析： Givens旋转的运算量为( O(n^2) )，因此整个算法的运算量不超过( O(n^2) )。

代码实现和参考资料

由于我无法直接提供代码实现，我可以建议您查阅以下资源来获取更多信息和示例代码：

1. 书籍: "Matrix Computations" by Gene H. Golub and Charles F. Van Loan 是线性代数算法的经典参考书，详细介绍了Givens旋转和其他相关算法。

2. 在线资源: 许多在线教程和课程提供了线性代数算法的讲解和MATLAB代码示例，例如MIT OpenCourseWare。

3. MATLAB文档: MATLAB官方文档和论坛是寻找特定函数和算法实现的好地方。

4. 学术论文: 搜索相关的学术论文，它们通常会提供算法的详细描述和伪代码。

请注意，实际的代码实现将取决于您使用的编程语言和库。在MATLAB中，您可以使用内置函数如qr来执行QR分解，但对于自定义算法，您可能需要手动实现Givens旋转和其他相关步骤。