考虑定积分I用r语言编写程序，希望能带注释

Question

考虑定积分I用r语言编写程序，希望能带注释，此为r语言李东风编写的课后习题

Answer 1

晚上好🌙🌙🌙
本答案参考ChatGPT-3.5

1. 题目解析 本题考虑用随机模拟方法计算定积分，分别采用随机投点法、平均值法、重要抽样法和分层抽样法计算。并要求计算后保证计算结果精度在小数点后三位小数，需要以95%置信度验证抽样分布方差并比较四种积分方法的平均绝对误差大小。
2. 解决方案 （1）随机投点法： 将积分区间均分成n个小区间； 在每个小区间内随机生成m个点， 记为xm； 根据采样定理， m越大，积分值的精度与置信度越高，但计算时间越长。 代码实现：

n<- 1000000 #区间分为1000份 m<- 1000 #在每个小区间内生成1000个点 f<- function(x) 1-exp(-x)-xexp(-x) #需要积分的函数 a<-0 b<-1 y<-runif(n,min=a,max=b) x<- y(b-a)+a z <-f(x)

In_region<-x[z < y] I1<-mean(f(In_region)*(b-a)/n) I1

（2）平均值法： 从概率的角度来看，随机变量X的均值E(X)可以表示为： E(X)≈(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n 即区间内随机点取平均数得到的结果 同样需要选取合适的n值以获得较高精度与可信度，n值越大计算时间越长。

代码实现：

n<- 1000000 #区间分为1000份 x<- runif(n,min=a,max=b) I2<-mean(f(x))*(b-a) I2

（3）重要抽样法 对于复杂积分中，可以利用特殊抽样方法，使得生成的采样点数量较少，且精度较高。

代码实现：

n<- 10000 g <- function(x,y) return ((1-exp(-x)-xyexp(-x))) w <- function(x,y) return (exp(x)-1) xmin = 0; xmax = 1 W = w(xmin,xmax)

X = runif(n) Y = runif(n) U = runif(n) X = XW fnc = g(X,Y) wi = fnc/W I3 = sum(fncwi/n) I3

（4）分层抽样法 当函数在某些局部区间上较为平滑时，可以使用分层抽样方法，针对不同区间设置不同的采样数目，并在靠近目标的区间内集中采样点，以提高估计结果的精度。

代码实现：

M<-3 xh<-seq(a,b,len=M+1) nel<-floor(n/M) res<-c() for(h in 1:M){ y<-runif(nel,min=xh[h],max=xh[h+1]) x<-y*(b-a)+a z<-f(x) In_region<-x[z < y] if (length(In_region)>0){ res[h]=mean(f(In_region)*(b-a))*length(In_region) } } I4<-sum(res) I4

（5）验证抽样分布方差并比较四种积分方法的平均绝对误差大小

代码实现：

B <- 100 # 设置B次 I1<-0; I2<-0; I3<-0; I4<-0; l1<-numeric(B); l2<-numeric(B); l3<-numeric(B); l4<-numeric(B)

for(j in 1:B){ y<-runif(n,min=a,max=b) x<-y*(b-a)+a z<-f(x) In_region<-x[z < y] if (length(In_region)>0){ l1[j]=mean(f(In_region)*(b-a)) }

l2[j]=mean(f(runif(n,min=a,max=b)))*(b-a)

X=runif(n,0,1) Y=runif(n,0,1) W=exp(X)-1; fnc=f(X,Y)/W wi=fnc/W l3[j]=sum(fnc*wi/n)

M=3 xh<-seq(a,b,len=M+1) nel<-floor(n/M) res<-c() for(h in 1:M){ y<-runif(nel,min=xh[h],max=xh[h+1]) x<-y*(b-a)+a z<-f(x) In_region<-x[z < y] if (length(In_region)>0){ res[h]=mean(f(In_region)*(b-a))*length(In_region) } } l4[j]<-sum(res)

I1<-I1+l1[j] I2<-I2+l2[j] I3<-I3+l3[j] I4<-I4+l4[j] }

avgI1 <- I1/B varI1 <- var(l1) interval1 <- c(avgI1-qnorm(0.975)*sqrt(varI1/B),avgI1+qnorm(0.975)sqrt(varI1/B)) mae1<-abs(1-exp(-1)-1/2(exp(-1)-1))

avgI2 <- I2/B varI2 <- var(l2) interval2 <- c(avgI2-qnorm(0.975)*sqrt(varI2/B),avgI2+qnorm(0.975)sqrt(varI2/B)) mae2<-abs(1-exp(-1)-1/2(exp(-1)-1))

avgI3 <- I3/B varI3 <- var(l3) interval3 <- c(avgI3-qnorm(0.975)*sqrt(varI3/B),avgI3+qnorm(0.975)sqrt(varI3/B)) mae3<-abs(1-exp(-1)-1/2(exp(-1)-1))

avgI4<-I4/B varI4<- var(l4) interval4<-c(avgI4-qnorm(0.975)*sqrt(varI4/B),avgI4+qnorm(0.975)sqrt(varI4/B)) mae4<-abs(1-exp(-1)-1/2(exp(-1)-1))

比较四种方法的平均绝对误差大小，结果如下：

print(paste("随机投点法：I = ",avgI1," interval1 = ", interval1, "varI1 = ", varI1, "MAE1 = ",mae1)) print(paste("平均值法：I = ",avgI2," interval2 = ", interval2, "varI2 = ", varI2, "MAE2 = ",mae2)) print(paste("重要抽样法：I = ",avgI3," interval3 = ", interval3, "varI3 = ", varI3, "MAE3 = ",mae3)) print(paste("分层抽样法：I4 = ",avgI4," interval4 = ", interval4, "varI4 = ", varI4, "MAE4 = ",mae4))