帮我解决一下膳食平衡的线性规划模型的数据实例

Question

已经建立完模型了，但是想找一个实际的问题数据，具体处理一下，提供一下谢谢

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

为了构建一个具体的膳食平衡的线性规划模型数据实例，我们首先需要确定每种食物的热量值、价格以及它们在平衡膳食宝塔中的位置。这里我们将选择五种常见的食物作为例子，并设定相应的数值。

1. 粮谷类（米饭）:

   • 单位热量 (k): 130千卡/100克
   • 单价 (c): 3元/公斤
   • 膳食宝塔层数: 1
   • 层次需求量 (D1): 400克
   • 每层贡献 (b1): 1 (假设100%贡献于底层)

2. 蔬菜（白菜）:

   • 单位热量 (k): 20千卡/100克
   • 单价 (c): 2元/公斤
   • 膳食宝塔层数: 2
   • 层次需求量 (D2): 450克
   • 每层贡献 (b2): 1 (假设100%贡献于第二层)

3. 水果（苹果）:

   • 单位热量 (k): 52千卡/100克
   • 单价 (c): 6元/公斤
   • 膳食宝塔层数: 2
   • 层次需求量 (D3): 150克
   • 每层贡献 (b3): 1 (假设100%贡献于第二层)

4. 鱼虾（鲈鱼）:

   • 单位热量 (k): 96千卡/100克
   • 单价 (c): 40元/公斤
   • 膳食宝塔层数: 3
   • 层次需求量 (D4): 75克
   • 每层贡献 (b4): 1 (假设100%贡献于第三层)

5. 奶类（牛奶）:

   • 单位热量 (k): 42千卡/100克
   • 单价 (c): 8元/升
   • 膳食宝塔层数: 4
   • 层次需求量 (D5): 200毫升
   • 每层贡献 (b5): 1 (假设100%贡献于第四层)

接下来，我们可以构建线性规划模型。目标是最小化花费的同时满足上述条件。这是一个典型的线性规划问题，可以使用标准形式表示为：

[ \text{Minimize } C = c_1 x_1 + c_2 x_2 + c_3 x_3 + c_4 x_4 + c_5 x_5 ]

[ \text{Subject to: } \begin{cases} 0.3 \cdot k_1 x_1 + 0.4 \cdot k_2 x_2 + 0.3 \cdot k_3 x_3 + 0.3 \cdot k_4 x_4 + 0.3 \cdot k_5 x_5 \geq P \ b_1 x_1 + b_2 x_2 + b_3 x_3 + b_4 x_4 + b_5 x_5 \leq D_1 \ x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, x_3 \geq 0, x_4 \geq 0, x_5 \geq 0 \end{cases} ]

其中 ( x_i ) 是第 ( i ) 种食物的摄入量（单位：克），( c_i ) 是第 ( i ) 种食物的单价（单位：元/克），( k_i ) 是第 ( i ) 种食物的单位热量（单位：千卡/克），( P ) 是每日所需的总热量（单位：千卡），( D_1 ) 是膳食宝塔第一层的需求量（单位：克），( b_i ) 和 ( D_i ) 分别代表第 ( i ) 种食物在膳食宝塔的贡献和需求量。

代入上面给定的具体数值，我们得到:

[ \text{Minimize } C = 3 \cdot x_1 / 1000 + 2 \cdot x_2 / 1000 + 6 \cdot x_3 / 1000 + 40 \cdot x_4 / 1000 + 8 \cdot x_5 / 1000 ]

[ \text{Subject to: } \begin{cases} 0.3 \cdot 130 \cdot x_1 + 0.4 \cdot 20 \cdot x_2 + 0.3 \cdot 52 \cdot x_3 + 0.3 \cdot 96 \cdot x_4 + 0.3 \cdot 42 \cdot x_5 \geq P \ 1 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 + 1 \cdot x_3 + 1 \cdot x_4 + 1 \cdot x_5 \leq 400 \ x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, x_3 \geq 0, x_4 \geq 0, x_5 \geq 0 \end{cases} ]

对于每日总热量 ( P )，这里我们可以选择一个特定的值，例如 ( P = 2800 ) 千卡。这样，我们就得到了一个完整的线性规划问题。然而，要找到具体的解，我们需要使用线性规划求解器，这通常在数学软件包中完成，例如Python的scipy.optimize.linprog函数。

以下是将问题转换成Python代码：

from scipy.optimize import linprog

# 定义参数
c = [3/1000, 2/1000, 6/1000, 40/1000, 8/1000]  # 成本系数
A = [[130*0.3, 20*0.4, 52*0.3, 96*0.3, 42*0.3]]  # 热量矩阵
b = [2800]  # 总热量需求
A_ub = [[1, 1, 1, 1, 1]]  # 上界矩阵
b_ub = [400]  # 第一层膳食宝塔需求量
bounds = [(None, None)] * 5  # 无下界限制，上界不限制

# 解决线性规划问题
res = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, A_eq=A, b_eq=b, bounds=bounds)
print(res)

运行这段代码后，你会得到一个解，告诉你每种食物的最佳摄入量以达到成本最小且满足膳食平衡的目标。注意，这个示例仅用于演示目的，实际应用可能需要更精确的参数和更多的食物种类。