距离判别法R语言编程

Question

（1）试用广义平方距离判别法建立判别准则（假设三个总体为多元正态分布总体，其协方差阵相等，先验概率取为各类样本的比例），并列出回判结果
（2）该城市另有两个单位在同一期间测定了所在单位大气中这三种污染元素的含量，试用马氏距离判别法判断这两个单位的污染情况属于哪一类

Answer 1

上午好☀️☀️☀️️
本答案参考ChatGPT-3.5

**广义平方距离判别法（Mahalanobis Distance）**是一种用于多维数据分类的方法，尤其适用于假设各类别数据的协方差矩阵相同的情况。在R语言中，我们可以使用mahalanobis()函数来计算距离。

步骤1：数据准备 首先，你需要准备包含三个类别数据的数据框，每个类别至少有两列表示特征变量。假设你的数据集叫做data，并且已经有一个列是类别标签class。

# 假设你的数据格式如下
data <- data.frame(
  feature1 = c(数值1, 数值2, ..., 数值n), # 各类别的特征值
  feature2 = c(数值1, 数值2, ..., 数值n),
  class = c("类别A", "类别B", "类别C", ...) # 类别标签
)

# 确保所有类别都有足够的样本
summary(data$class) # 检查类别分布

步骤2：计算协方差矩阵 对于协方差矩阵，如果你不知道具体形式，可以先假设为对角矩阵（即各特征线性无关），或者使用cov()函数计算样本协方差矩阵。

# 对角矩阵假设
cov_matrix <- diag(var(data[, -1]))

# 或者使用样本协方差矩阵
cov_matrix <- cov(data[, -1])

步骤3：广义平方距离判别 使用mahalanobis()函数计算距离，并根据距离大小判断类别。

# 计算距离
distances <- mahalanobis(data[, -1], colMeans(data[, -1]), cov_matrix)

# 划分类别
thresholds <- quantile(distances, probs = c(0.5, 1 - 0.5)) # 设置阈值，例如中位数作为决策边界
classification <- ifelse(distances < thresholds[1], "类别A", 
                         ifelse(distances < thresholds[2], "类别B", "类别C"))

**马氏距离判别法（Mallows Distance）**适用于处理非正态分布或不同协方差矩阵的情况。R语言中没有内置的马氏距离函数，但你可以自己定义。马氏距离是基于样本之间的欧氏距离和协方差矩阵的：

# 自定义马氏距离
mahalanobis_mallows <- function(x, y, sigma) {
  inv_sigma <- solve(sigma)
  (x - y) %*% inv_sigma %*% t(x - y)
}

# 为新单位计算马氏距离
new_data <- data.frame(feature1 = c(new_value1, new_value2),
                       feature2 = c(new_value1, new_value2))

# 使用已知的协方差矩阵
distance_new <- mahalanobis_mallows(new_data, mean(data[, -1], na.rm = TRUE), cov_matrix)

然后根据距离判断新的单位属于哪个类别。

请注意，实际应用中可能需要调整参数、考虑缺失值处理以及交叉验证等问题。以上代码仅为示例，具体实现可能需要根据实际情况调整。