LTA-OM后端优化中所构建的闭环关键点因子雅可比矩阵问题？

Question

LTA-OM后端优化中所构建的闭环关键点因子，雅可比矩阵中跟位置相关的部分为什么是对两共视点的载体坐标求偏导，而不是对姿态变量中位置向量求偏导？下图中公式4最右项，如果是残差对t1求偏导应该是R2^T

Answer 1

参考免费微信小程序：皆我百晓生 作答，经由专家-皆知整理回复，如问题解决，望采纳；如仍有疑问，请评论回复。

在LTA-OM（视觉SLAM中的Loop Closure Detection与Optimization方法）的后端优化过程中，构建闭环关键点因子的雅可比矩阵涉及到对位姿状态的微小变化进行求导。这里的关键在于理解如何正确地对观测到的特征点重投影误差进行线性化，从而形成一个关于姿态增量（包括旋转和平移）的雅可比矩阵。

为什么是针对两共视点的载体坐标求偏导

在公式(4)中，雅可比矩阵的一部分涉及到了两个关键帧之间的相对姿态变换以及它们各自到观测特征点的空间关系。具体来说，这部分雅可比矩阵反映了残差相对于小的平移增量Sp的变化率，而这个平移增量影响了从一个关键帧视角到另一个关键帧视角下特征点的预测位置。

• 为何不是直接对位置向量求导： 在这个问题的上下文中，姿态变量是由旋转矩阵R和平移向量t共同组成的，它们作为一个整体参与计算，表示相机或载体的绝对姿态。当我们讨论“对位置求导”时，实际上是指对整个姿态表示中的平移分量t求导。但是，直接对平移向量t求导并不完全能捕捉到由于姿态变化（尤其是旋转变化）导致的特征点预测位置的变化，因为旋转和平移在这个过程中是耦合的。

• 对两共视点的载体坐标求偏导的原因： 实际上，公式(4)的第二行展示的是对小的旋转增量$\Delta \theta$求导的结果，而第三行则是对小的平移增量$\Delta p$求导。这里的$\Delta p$本质上就是对两共视点间平移向量差异的微小改变敏感度的衡量，即考虑了旋转和平移的综合效果后，特征点重投影位置的改变。因此，这并不是直接对某个单一定位变量求导，而是考虑了姿态整体变化（旋转和翻译）对观测误差的影响。

雅可比矩阵推导简析

对于公式(4)，考虑的是从第一个关键帧视角到第二个关键帧视角下特征点位置的预测。如果我们要手动推导这部分雅可比矩阵，关键步骤包括：

1. 特征点在世界坐标系下的预测位置：首先确定特征点在第一个关键帧的载体坐标系下的预测位置，然后通过第一个关键帧的姿态变换到世界坐标系中。

2. 通过姿态变化预测新位置：接下来，应用第二个关键帧相对于第一个关键帧的旋转和平移变化（考虑姿态增量$\Delta \theta, \Delta p$），预测该特征点在第二个关键帧视角下的理论位置。

3. 计算残差：将预测位置与实际观测到的特征点位置（在第二个关键帧坐标系下）相比较，得到重投影误差。

4. 求偏导：对上述过程中的每个步骤，特别是姿态增量$\Delta \theta, \Delta p$，分别求残差的偏导数，从而得到雅可比矩阵的对应元素。

示例代码简化说明（非直接代码，仅为逻辑示例）

# 假设已知
R1, t1 = 第一帧姿态旋转和平移
R2, t2 = 第二帧姿态旋转和平移
P1_w = 特征点在第一帧载体坐标系下的坐标
delta_R, delta_t = 小的旋转和平移增量

# 计算预测位置
P1_world = R1 @ P1_w + t1
predicted_P1_2nd_view = (R2 @ R1) @ P1_world + (R2 @ t1) + t2 + delta_R @ P1_world + delta_t

# 残差计算简化示意，实际需考虑真实观测值
residual = predicted_P1_2nd_view - 观测值

# 雅可比矩阵计算简化逻辑，未展开具体求导过程
# 对于平移增量delta_t的偏导，考虑其直接影响预测位置
Jacobian_delta_t = ... # 此处应包含直接对平移增量的导数计算，考虑旋转和位置的综合作用

请注意，上述代码仅为了逻辑示意，并没有展开具体的雅可比矩阵元素计算过程，实际计算雅可比矩阵时会涉及复杂的线性代数操作，包括矩阵乘法、向量点积的导数等。雅可比矩阵的精确计算通常依赖于姿态更新对旋转和平移的具体表达形式，以及它们如何共同作用于特征点的预测位置上。