分支限界法解决带时限的排序问题

Question

题目描述
用分支限界法解决问题，带时限的排序问题可描述为：设有n个进程和一台处理机，每个进程所需的处理时间、要求的时限和收益可用三元组（pi, di, ti），0<=i<n表示，其中，进程i的所需时间为ti，如果进程i能够在时限di内完成，将可收益pi，求使得总收益最大的进程子集J。
输入
第一行输入n（0<n<15）的值；第二行输入pi；第三行输入di；第四行输入ti （i=0，…，n-1且进程已经按时限非减次序排列）。
输出
xi（用固定长度n-元组xi表示，xi=0或1，i=0，…，n-1），每个xi后带有一个空格。
样例输入
4
5 3 6 10
1 1 2 3
1 1 1 2
样例输出
0 0 1 1

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

为了解决这个问题，我们可以设计一个基于分支限界法的算法，使用C++实现。分支限界法是一种在问题的解空间树中搜索最优解的方法，它通过限制搜索范围来提高效率。下面是一个详细的C++代码示例，用于解决带时限的排序问题。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

struct Process {
    int profit; // 进程的收益
    int deadline; // 进程的时限
    int time; // 进程所需时间
};

int n;
vector<Process> processes;
vector<int> best_solution;
int best_profit = 0;
int current_time = 0;

void bound(int index, int current_profit, vector<int>& solution) {
    if (index == n) {
        if (current_profit > best_profit) {
            best_profit = current_profit;
            best_solution = solution;
        }
        return;
    }

    // 不选择当前进程
    bound(index + 1, current_profit, solution);

    // 选择当前进程
    if (current_time + processes[index].time <= processes[index].deadline) {
        solution[index] = 1;
        current_time += processes[index].time;
        bound(index + 1, current_profit + processes[index].profit, solution);
        current_time -= processes[index].time;
    }

    // 回溯
    solution[index] = 0;
}

int main() {
    cin >> n;
    processes.resize(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> processes[i].profit;
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> processes[i].deadline;
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> processes[i].time;
    }

    vector<int> solution(n, 0);
    bound(0, 0, solution);

    // 输出结果
    for (int x : best_solution) {
        cout << x << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

这段代码首先定义了一个Process结构体来存储每个进程的信息。然后，定义了全局变量n来存储进程的数量，processes向量来存储所有进程，以及best_solution和best_profit来跟踪最佳解及其对应的总收益。

bound函数是递归函数，用于执行分支限界法。它接受当前考虑的进程索引、当前的总收益和当前的解向量作为参数。函数首先检查是否已到达最后一个进程，如果是，则更新最佳解和最大收益。接下来，函数尝试不选择当前进程和选择当前进程两种情况，并根据时限判断是否可以添加当前进程到解中。

最后，在main函数中，从标准输入读取数据，调用bound函数，并输出最佳解。

这个算法的时间复杂度取决于问题的规模，但在实际应用中，由于使用了限界条件，通常会比完全穷举的算法快得多。注意，这个算法假设输入的数据已经按时限非减次序排列，如果输入未排序，应先进行排序。