【基础】最短距离和路径问题

Question

描述

有n个城市（编号为1~n），m条道路（n<1000, m<10000)，每条道路有个长度，请找到从起点s到终点t的最短距离和经过的城市名。

输入描述

第一行输入四个数，分别为n，m，s，t。（n<1000, m<10000，1≤s,t≤n）

接下来m行，每行三个数x，y，len，分别为两个城市名和距离。（1≤x,y≤n，1≤len≤50000）

输出描述

每组输出占两行。

第一行输出起点到终点的最短距离。

第二行输出最短路径上经过的城市名，如果有多条最短路径，输出字典序最小的那条。若不存在从起点到终点的路径，则输出“can't arrive”。

请注意：本题两个相同的城市之间可能存在多条路径。

用例输入 1

3 3 1 3
1 3 3
1 2 1
2 3 1
用例输出 1

2
1 2 3
来源

图论

Answer 1

以下内容由CHATGPT及阿里嘎多学长共同生成、有用望采纳：

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这个问题是一个典型的最短路径问题，可以通过图论中的Dijkstra算法来解决。Dijkstra算法是一种贪心算法，用于在加权图中找到单个源点到所有其他顶点的最短路径。以下是解决这个问题的一般步骤：

1. 建立图：使用邻接矩阵或邻接表来表示图。邻接矩阵适用于稠密图，而邻接表适用于稀疏图。

2. 初始化：设置一个数组dist来存储从起点到每个城市的距离，初始时除了起点的距离为0外，其他城市的距离设为无穷大。同时，设置一个优先队列（最小堆）来存储待访问的城市及其距离。

3. Dijkstra算法：

   • 从起点开始，将起点加入优先队列。
   • 当优先队列非空时，执行以下操作：
     • 取出队列中距离最小的城市u。
     • 对于u的每个邻居v，如果通过u到v的距离小于当前dist[v]，则更新dist[v]，并更新v的前驱节点（用于记录路径），然后将v加入优先队列。

4. 记录路径：使用一个数组pre来记录每个城市在最短路径上的前一个城市。通过回溯pre数组，可以从终点t回溯到起点s，得到最短路径。

5. 输出结果：如果dist[t]是无穷大，则表示没有路径，输出"can't arrive"。否则，输出从s到t的最短距离和路径。

6. 字典序最小路径：如果有多条最短路径，可以通过比较路径上的城市的字典序来选择最小的一条。

以下是C++实现的伪代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>

using namespace std;

const int INF = 1e9;

int n, m, s, t;
vector<pair<int, int>> edges[1001]; // 邻接表表示图
int dist[1001]; // 存储最短距离
int pre[1001];  // 存储前驱节点
bool visited[1001]; // 标记是否访问过

void dijkstra() {
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist)); // 初始化距离为无穷大
    memset(visited, false, sizeof(visited));
    dist[s] = 0;
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;
    pq.push({0, s});

    while (!pq.empty()) {
        int u = pq.top().second;
        pq.pop();

        if (visited[u]) continue;
        visited[u] = true;

        for (auto &edge : edges[u]) {
            int v = edge.first;
            int weight = edge.second;
            if (!visited[v] && dist[u] + weight < dist[v]) {
                dist[v] = dist[u] + weight;
                pre[v] = u;
                pq.push({dist[v], v});
            }
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m >> s >> t;
    s--; t--; // 将城市编号从1开始转换为从0开始

    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int x, y, len;
        cin >> x >> y >> len;
        x--; y--; // 同上
        edges[x].push_back({y, len});
        edges[y].push_back({x, len}); // 如果是无向图
    }

    dijkstra();

    if (dist[t] == INF) {
        cout << "can't arrive" << endl;
    } else {
        cout << dist[t] << endl;
        vector<int> path;
        for (int at = t; at != -1; at = pre[at]) {
            path.push_back(at + 1); // 转换回1开始的编号
        }
        reverse(path.begin(), path.end());
        for (int node : path) {
            cout << node << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

请注意，这个伪代码示例是一个简化的版本，实际实现时可能需要更多的错误检查和边界条件处理。此外，如果你需要考虑字典序最小的路径，你可能需要在比较路径时添加额外的逻辑。

参考链接：

• Dijkstra算法：Wikipedia - Dijkstra's algorithm
• C++优先队列：cplusplus.com - priority_queue
• C++向量：cplusplus.com - vector