强化学习的状态动作值函数(Q函数)

Question

这是书中推导的Q函数，然后第二行的推导那个rt为什么不多余，它能转换到下面的V函数中，这个我没有疑问，主要就是r(st,at)那不就是在t时刻的滞后奖励值吗，那同样rt不也代表t时刻的奖励值吗

Answer 1

以下内容由CHATGPT及阿里嘎多学长共同生成、有用望采纳：

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在强化学习中，Q函数是状态-动作值函数（State-Action Value Function），它预测了从状态( s )开始，采取动作( a )，并遵循策略( \pi )所能获得的期望回报。Q函数的定义如下：

[ Q^{\pi}(s, a) = E_{\pi} \left[ G_t | S_t = s, A_t = a \right] ]

其中，( G_t )是回报（Return），它通常定义为从时间( t )开始到某一终止状态的累积奖励：

[ G_t = \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+1} ]

这里的( R_{t+k+1} )是时间( t+k+1 )的奖励，而( \gamma )是折扣因子，它决定了未来奖励相对于当前奖励的重要性。

现在，让我们来解答你的问题：

1. 为什么在推导中( r_t )（t时刻的奖励值）不被视为多余，并且可以转换到V函数中？

   在Q函数的推导中，( r_t )并不多余，因为它代表了在采取动作( a )后立即获得的奖励。这个奖励是Q函数定义的一部分，因为它是回报( G_t )的初始部分。当我们考虑从状态( s )采取动作( a )后的未来回报时，( r_t )是这个回报序列的第一个项。当我们将Q函数展开时，( r_t )与随后的状态-动作对( (s_{t+1}, a_{t+1}) )的Q函数值相结合，形成了一个递归关系，这有助于我们计算或估计Q函数的值。

2. r(st, at)表示t时刻的奖励值，rt同样代表t时刻的奖励值，为什么它们在Q函数推导中有不同的角色或意义？

   实际上，( r(S_t, A_t) )和( r_t )在这里是相同的，都代表了在时间( t )采取动作( A_t )后从状态( S_t )获得的奖励。在Q函数的推导中，我们通常使用( r(S_t, A_t) )来表示这个奖励，因为它强调了奖励是状态和动作的函数。这种表示方法有助于强调奖励与状态和动作之间的关系，并且在数学推导中更为常见和通用。

   在推导过程中，我们可能会看到( r_t )和( r(S_t, A_t) )交替使用，但它们本质上是相同的。这种表示上的灵活性是为了使公式更易于阅读和理解，并不改变它们在Q函数中的作用。

关于强化学习的更多信息和资源，你可以查看以下链接：

• 强化学习 Wiki
• Sutton & Barto's Book: Reinforcement Learning: An Introduction，这本书是强化学习领域的经典教材。

希望这些解释能帮助你更好地理解Q函数及其在强化学习中的作用。如果你还有其他问题或需要进一步的解释，请随时告诉我。