3291 问题 H: bitset练习(选做)
核心思路是使用位运算和动态规划的思想来解决问题。
首先,我们需要理解题目中的数学模型:对于每个区间[l, r],我们可以选择这个区间内的任何一个数x,计算它的平方x^2,然后求所有区间选出的数的平方和S。题目要求我们找出所有可能的S的值的数量。
为了解决这个问题,我们可以使用一个bitset(位集合)来表示所有可能的平方和。bitset是一个高效的数据结构,可以用于处理大量的二进制数据,它在这里用来存储哪些平方和是可达的。
初始时,我们的bitset
a
只包含0(因为如果没有任何区间,唯一的平方和就是0)。对于每一个区间[l, r],我们创建一个新的临时bitset
b
,并遍历区间内的每一个数j,将a
左移j^2位后与b
进行或操作。这样做的效果是,b
中会包含从当前区间选择任意一个数后所有可能的平方和。完成一个区间的处理后,我们将
b
赋值给a
,这样a
就包含了到目前为止所有区间能够达到的所有平方和。重复步骤4和5直到处理完所有区间。
最后,
a.count()
将给出bitset中设置为1的位数,也就是所有可能的不同的平方和的数量。
这种方法的时间复杂度较高,因为需要对每个区间的每个数进行遍历,但对于n≤100的范围来说是可以接受的。如果区间的大小很大,这个方法可能会变得非常慢。