3291 问题 H: bitset练习（选做）

Question

3291 问题 H: bitset练习（选做）

余博士教编程_酷哥OJ_酷哥爱编程_酷哥创客AI编程 https://oj.coolguymaker.com/problem.php?tag=contest&cid=5680&pid=7

核心思路是使用位运算和动态规划的思想来解决问题。

1. 首先，我们需要理解题目中的数学模型：对于每个区间[l, r]，我们可以选择这个区间内的任何一个数x，计算它的平方x^2，然后求所有区间选出的数的平方和S。题目要求我们找出所有可能的S的值的数量。

2. 为了解决这个问题，我们可以使用一个bitset（位集合）来表示所有可能的平方和。bitset是一个高效的数据结构，可以用于处理大量的二进制数据，它在这里用来存储哪些平方和是可达的。

3. 初始时，我们的bitset a只包含0（因为如果没有任何区间，唯一的平方和就是0）。

4. 对于每一个区间[l, r]，我们创建一个新的临时bitset b，并遍历区间内的每一个数j，将a左移j^2位后与b进行或操作。这样做的效果是，b中会包含从当前区间选择任意一个数后所有可能的平方和。

5. 完成一个区间的处理后，我们将b赋值给a，这样a就包含了到目前为止所有区间能够达到的所有平方和。

6. 重复步骤4和5直到处理完所有区间。

7. 最后，a.count()将给出bitset中设置为1的位数，也就是所有可能的不同的平方和的数量。

这种方法的时间复杂度较高，因为需要对每个区间的每个数进行遍历，但对于n≤100的范围来说是可以接受的。如果区间的大小很大，这个方法可能会变得非常慢。

Answer 1

以下内容由CHATGPT及阿里嘎多学长共同生成、有用望采纳：

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根据你提供的算法描述和步骤，我可以帮你构建一个基本的C++代码框架，实现这个位运算和动态规划结合的算法。以下是代码的示例：

#include <iostream>
#include <bitset>
#include <vector>
#include <cmath>

// 定义一个函数来处理区间并更新bitset
void processInterval(std::bitset<10000> &a, int l, int r) {
    std::bitset<10000> b; // 初始化bitset b，假设平方和不会超过10000位
    b.set(); // 将所有位设置为1，表示所有可能的平方和

    for (int j = l; j <= r; ++j) {
        // 计算j^2的二进制表示，并左移相应的位数
        int square = j * j;
        // 将a左移square位，然后与b进行或操作
        b |= a << square;
    }

    // 更新a为b的值
    a = b;
}

int main() {
    int n; // 区间的数量
    std::cin >> n;

    std::vector<std::pair<int, int>> intervals(n); // 存储区间的向量
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        std::cin >> intervals[i].first >> intervals[i].second;
    }

    std::bitset<10000> a; // 初始化bitset a，只包含0
    a[0] = 1; // 设置第0位为1，表示平方和为0

    // 处理每个区间
    for (const auto &interval : intervals) {
        processInterval(a, interval.first, interval.second);
    }

    // 计算并输出不同平方和的数量
    int count = a.count();
    std::cout << count << std::endl;

    return 0;
}

请注意，这段代码是一个基础的实现，它假设所有的平方和都不会超过10000位，这可能需要根据实际问题调整。此外，这段代码没有进行任何错误检查或优化，可能需要根据具体的输入和需求进行调整。

在实际使用中，你可能需要根据题目的具体要求和输入数据的大小来调整bitset的大小，以及考虑可能的优化方法，比如减少不必要的位操作，或者使用更高效的数据结构来存储中间结果。