人体在平衡车上能保持平衡的角度范围

Question

真不会了，MATLAB数模已经学废了
有想试试讨论的可以联系我！

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

要找到人体在平衡车上能保持平衡的最大和最小角度范围，我们首先需要定义一些变量和方程。在这个场景中，我们假设人体（质心）相对于车体的位置是固定的，并且车体是一个圆柱形物体。

首先，我们需要计算车体的转动惯量。这个值将决定人体在车体上的稳定性。我们可以使用以下公式来计算：

[ I = \int_{\theta}^{2\pi}\frac{1}{2}mr^2 d\theta ]

这里，( m ) 是人体的质量，( r ) 是人体到车体中心的距离。由于人体相对固定，所以它对车体的转动影响可以通过简化处理忽略不计。因此，这里的 ( I ) 可以近似等于人体自身的转动惯量 ( J )，即：

[ J = \frac{1}{2}mR^2 ]

接下来，我们考虑人体的平动动能。根据题目中的描述，平动动能包括两个部分：

1. 车体平动动能：( K_{tx} = \frac{1}{2}gX^2 + \frac{1}{2}v_x^2 )

2. 车体转动动能：( K_{ty} = \frac{1}{2}I\omega^2 )

其中，( X ) 是车体相对于地面向下的速度，( v_x ) 是车体的速度，( I ) 是车体的转动惯量，( \omega ) 是车体的角速度。为了方便计算，我们将车体的平动动能简化为：

[ K_{tx} = gX^2 ]

然后，我们考虑车轮的转动动能。考虑到车轮的质量分布，我们可以使用能量守恒原理来分析车轮的转动动能：

[ K_{tj} = \frac{1}{2}mR^2(\dot{\phi}_1)^2 + \frac{1}{2}mR^2(\dot{\phi}_2)^2 ]

这里，( \dot{\phi}_1 ) 和 ( \dot{\phi}_2 ) 分别是车轮沿正北和正南方向的角加速度。对于车轮来说，它们的转动动能只包含角动能，所以我们只需要计算车轮的角动能。因为车轮是刚性的，它的角动能可以表示为：

[ K_{tj} = \frac{1}{2}I\dot{\phi}^2 ]

其中，( I ) 是车轮的转动惯量，( \dot{\phi} ) 是车轮的角速度。由于车轮质量和质量分布的差异，我们需要分别计算每一对车轮的角动能：

[ K_{tj_1} = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)R^2(\dot{\phi}_1)1^2 ] [ K{tj_2} = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)R^2(\dot{\phi}_2)_2^2 ]

接着，我们需要考虑人体与车体之间的相互作用力。根据题目中的描述，人体对车体的作用力可以表示为：

[ F = m(R - x) ]

这里，( R ) 是车体的半径，( x ) 是人体相对于车体的偏移位置。当人体处于稳定状态时，这个作用力应该指向车体的中心。因此，我们可以得出人体与车体之间的相互作用力的方向应该是垂直于车体平面的。为了使人体保持稳定，我们需要让这个力小于车体的重力。这意味着：

[ F < mg ]

因此，人体对车体的相互作用力必须满足：

[ m(R - x) < mg ]

结合车体的平动动能、车轮的转动动能以及人体与车体之间的相互作用力，我们可以得到一个关于人体位置 ( x ) 的约束条件：

[ gX^2 + \frac{1}{2}gX^2 + \frac{1}{2}K_{tx} + \frac{1}{2}K_{ty} + K_{tj} + K_{tj_1} + K_{tj_2} + F > mgX^2 + mgX^2 ]

这可以简化为：

[ \frac{1}{2}K_{tx} + \frac{1}{2}K_{ty} + K_{tj} + K_{tj_1} + K_{tj_2} > mgX^2 ]

接下来，我们需要求解这个约束条件的最小和最大值。为了简化这个问题，我们可以考虑不同的人体重下的最小和最大角度范围。为此，我们需要确定人体的重心位置。由于人体的形状可能不是标准的球体，其重心可能会在车体上移动，但通常情况下，人体的重心会位于车体的中心附近。具体的位置取决于人体的尺寸和形状。然而，在本题中，我们可以假设人体的重心位于车体的中心，这样就可以简化问题。在这种情况下，我们只需考虑车体的转动惯量 ( I ) 对人体稳定性的影响，而不必考虑人体的平动动能和其他因素。

通过计算车体的转动惯量 ( I )，我们可以得到人体在车体上的最小和最大角度范围。下面是一个简单的Python代码示例，用于计算人体在不同体重下的最小和最大角度范围：

import numpy as np

# 定义车体和人体的相关参数
mass = 50 # 人体质量（kg）
radius = 0.1 # 车体半径（m）
angle_offset = -np.pi / 6 # 控制杆偏离z轴的角度
body_center_to_wheel_distance = 0.05 # 一质心到轮轴距离（m）

# 计算车体的转动惯量
I_body = mass * radius ** 2

# 计算人体在车体上的最小和最大角度范围
min_angle_range = np.degrees(np.arccos(I_body / (2 * mass * body_center_to_wheel_distance ** 2)))
max_angle_range = np.degrees(np.arccos((I_body / (2 * mass * body_center_to_wheel_distance ** 2)) * 2))

print("人体在车体上的最小角度范围:", min_angle_range)
print("人体在车体上的最大角度范围:", max_angle_range)

注意，这个例子仅适用于假设人体的重心位于车体的中心的情况。实际上，人体的重心位置可能因人而异，而且在不同的车辆设计中也有所不同。