DFT是如何求导的？

Question

离散傅里叶变换DFT是如何求导的？作为损失函数在代码中怎么反向传播的？y=DFT(x) 这里y对x的导数如何求呢？

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

首先，让我们澄清一个概念：DFT（离散傅里叶变换）是一种将信号从时域转换到频域的方法，它是一种变换而非一个函数。因此，DFT本身并不涉及到微积分意义上的求导操作。但如果你想知道DFT的逆过程（即反DFT），那么这个逆过程在数学上涉及到求导。然而，对于DFT的结果作为函数输出，对其求导并不是直接的，因为DFT是一个全局变换而非一个局部函数。因此，你不能直接对DFT的结果进行常规的微积分求导。但是你可以通过变换方法间接求导。具体来说，如果你的信号是一个关于时间的函数，你可以首先对时间进行微分得到信号的导数，然后再应用DFT进行变换。这样做的结果可以视为信号在频域的导数。不过请注意，这种方法的计算复杂性较高，并且在实际应用中并不常见。在大多数情况下，我们关注的是信号本身在频域上的特征或属性变化而非对其直接求导。针对你在代码中遇到的需求以及关于损失函数反向传播的问题，以下是针对特定情况的分析：在深度学习中，我们一般不会直接使用DFT作为损失函数的一部分来反向传播梯度更新参数，因为在卷积神经网络等领域更多的是对卷积层的反向传播和对相关优化方法的考量而非直接在频域中进行计算。但如果你有特殊需求需要使用DFT作为损失函数的一部分来进行反向传播的话，可以借助深度学习框架（如TensorFlow或PyTorch）提供的自动微分机制来实现。大致步骤如下：首先你需要定义包含DFT操作的自定义层或函数来应用DFT变换。然后，通过深度学习框架的自动微分机制计算关于输入信号的梯度（即关于输入信号的导数）。这些梯度可以通过反向传播算法用于更新模型的参数。值得注意的是在进行这一过程时可能需要针对具体问题和数据的特点进行优化和适配代码细节，以实现更高的效率和更好的效果至于你提到的关于y=DFT(x)对x的导数的问题由于这是一个复杂的数学问题涉及到了信号处理和微积分等多个领域的知识因此无法简单地给出一个通用的答案或简单的计算方法并且这需要高度的专业领域知识和具体的研究方法具体解决方法可能需要结合你的具体应用场景和数据进行深入研究和分析总之我建议你深入阅读关于信号处理和自动微分等相关领域的书籍或论文并尝试将理论应用于实践中来找到适合的解决方案如果可能的话也可以寻求相关领域的专家帮助进行更深入的研究和探索