递归方程 算法求解递归方程T(n)=T([n/2])+T([n/2])+1,T(1)=1，要求给出渐近紧界

Question

求解递归方程T(n)=T([n/2])+T([n/2])+1,T(1)=1，要求给出渐近紧界（即渐近上界与渐近下界相同）及相应的严格证明。（提示：有些时候在用数学归纳法进行证明的时候发现无法完成归纳步骤，可以考虑采用更强的归纳假设）

Answer 1

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要解决递归方程 $$T(n) = T\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\right) + T\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\right) + 1$$，其中 $$T(1) = 1$$，我们可以使用递归树方法和主定理来找到其渐近紧界。

递归树方法

1. 递归树展开：

   • 每个节点的计算成本是1。
   • 每个节点分裂成两个子节点，直到达到叶节点。

2. 计算树的高度：

   • 树的高度为 $$\log_2 n$$，因为每次递归将问题规模减半。

3. 计算每层的成本：

   • 每层有 $$2^i$$ 个节点，每个节点的计算成本为1。
   • 第 $$i$$ 层的总成本为 $$2^i$$。

4. 总成本：

   • 总成本为所有层的成本之和，即 $$\sum_{i=0}^{\log_2 n} 2^i$$。
   • 这是一个等比数列，其和为 $$2^{\log_2 n + 1} - 1 = 2n - 1$$。

因此，递归方程的总成本为 $$O(n)$$。

严格证明

我们可以使用数学归纳法来证明 $$T(n) = O(n)$$。

归纳假设：假设对于所有 $$k < n$$，有 $$T(k) \leq c \cdot k$$，其中 $$c$$ 是一个常数。

归纳步骤：

• 对于 $$n$$，有：
  $$
  T(n) = 2T\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\right) + 1
  $$
• 根据归纳假设：
  $$
  T\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\right) \leq c \cdot \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor
  $$
• 因此：
  $$
  T(n) \leq 2c \cdot \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + 1 \leq 2c \cdot \frac{n}{2} + 1 = c \cdot n + 1
  $$

选择合适的常数 $$c$$，使得 $$c \cdot n + 1 \leq c \cdot n$$，可以得出 $$T(n) = O(n)$$。

因此，递归方程 $$T(n) = T\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\right) + T\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\right) + 1$$ 的渐近紧界为 $$\Theta(n)$$。