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Question

在一个仿射坐标系中，仿射变换f地变换公式为
x'＝8x+2y-5
y'＝3x+7y+3
一，求f地不动点和特征向量，
二，求f的变积系数
三，求新的仿射变换系，使得f在此坐标系下变换公式为x'＝λ1x
y'＝λ2y并求两个λ

Answer 1

基于Monster 组和GPT的调写：
一、求f的不动点和特征向量：
不动点是指在变换下坐标不变的点，因此我们要解出以下方程组：
x' = x
y' = y

代入变换公式得到：
8x + 2y - 5 = x
3x + 7y + 3 = y

整理可得：
7x + 2y = 5
3x + 6y = -3

解方程可得不动点为：
x = -1, y = 2

接下来我们求特征向量。特征向量是指在仿射变换下方向不变的向量。设特征向量为 (a, b)，则有：
f(a, b) = λ(a, b)

代入仿射变换公式，得到：
8a + 2b = λa
3a + 7b = λb

化简得到：
(8-λ)a + 2b = 0
3a + (7-λ)b = 0

因为特征向量不为零向量，所以系数矩阵必须是奇异矩阵，即行列式为零：
(8-λ)(7-λ) - 6 = 0

解得：
λ1 = 10， λ2 = 5/2

分别带入特征向量的方程组，得到两个特征向量：
(a1, b1) = (1, -3)
(a2, b2) = (2, 1)

因此f的特征向量为 (1, -3) 和 (2, 1)。

二、求f的变积系数：
变积系数是指仿射变换下单位面积的变换大小。设单位正方形的面积为1，则在变换下的面积为|det(M)|，其中M是变换矩阵。因此变积系数为sqrt(|det(M)|)。

f的变换矩阵为：
M = [8 2; 3 7]

计算行列式得到：
det(M) = 50

因此f的变积系数为sqrt(50)。
f(g(x,y)) = (λ1x, λ2y)

设g的矩阵为：
G = [a b; c d]

则有：
f(G(x,y)) = (λ1x, λ2y)
= f(a x + b y + e, c x + d y + f)
= (8(a x + b y + e) + 2(c x + d y + f) - 5, 3(a x + b y + e) + 7(c x + d y + f) + 3)
= (8a+2c)x + (2b+7c)y - 5a - 3c + e, (3a+7c)x + (3b+7d)y + 3c + f)

因为我们要求g的矩阵，所以需要解出以下方程组：
8a+2c = λ1a
2b+7c = λ2b
3a+7c = λ1c
3b+7d = λ2d

将上式整理可得：
(8-λ1)a + 2c = 0
2b + (7-λ2)c = 0
(3-λ1)a + 7c = 0
3b + (7-λ2)d = 0

因为g的矩阵不为奇异矩阵，所以系数矩阵必须可逆，即行列式不为零：
(8-λ1)(7-λ2) - 6 = 0

解得：
λ1 = 10， λ2 = 5/2

将λ1和λ2带入上述方程组，可解出g的矩阵为：
G = [1 1/2; -3/10 1]

因此新的仿射变换为：
g(x,y) = (x + y/2, -3x/10 + y)

其中λ1 = 10， λ2 = 5/2。