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Question

给定平面π上的一个正方形ABCD，设Iso（ABCD）＝｛f是π上的保距变换If（ABCD）＝ABCD｝，称其为正方形ABCD的变换群，求这个变换群

Answer 1

基于Monster 组和GPT的调写：
在给定平面上，正方形ABCD的顶点可以表示为$(a,a), (a,-a), (-a,-a), (-a,a)$，其中$a$为正方形的边长的一半。现在考虑正方形的所有保距变换，可以分为以下几种情况：

• 保持正方形不动的变换，包括恒等变换和绕中心旋转180度的变换。

• 对正方形进行对称的变换，包括关于对角线和关于垂直中线的对称变换。

• 将正方形旋转一定角度后再进行对称的变换，包括将正方形旋转90度后关于$x$轴和$y$轴的对称变换，以及将正方形旋转45度后关于对角线和关于垂直对称轴的对称变换。

• 这些变换组成的变换群即为正方形ABCD的变换群，记作$Iso(ABCD)$。

下面给出这些变换的具体公式：

• 恒等变换：f(x,y)=(x,y)

• 绕中心旋转180度的变换：f(x,y)=(-x,-y)

• 对角线对称变换：f(x,y)=(y,x)

• 垂直中线对称变换：f(x,y)=(-x,y)

• 旋转90度后关于$x$轴的对称变换：f(x,y)=(y,-x)

• 旋转90度后关于$y$轴的对称变换：f(x,y)=(-y,x)

• 旋转45度后关于对角线的对称变换：f(x,y)=(y,x)，然后再进行对称变换$f(x,y)=(y,-x)

• 旋转45度后关于垂直对称轴的对称变换：f(x,y)=(y,x)，然后再进行对称变换f(x,y)=(-x,y)

• 以上所有变换都是保距变换，即变换前后距离不变。

最终得到的变换群$Iso(ABCD)$共有8个元素，其中包括4个旋转变换和4个对称变换。