求解高等代数相关问题解答

Question

一，列出模2的剩余类环Z12的所有乘法可逆元
二，记所有偶数构成的集合为2Z，2Z关于数的加法运算构成的群是不是循环群
三，集合｛(0 0)
(0 a) Ia∈R｝关于矩阵的加法和乘法是不是整环
四，

Answer 1

该回答引用ChatGPT

一、模2的剩余类环Z12中的乘法可逆元为：1、5、7、11。

在模2的剩余类环Z12中，任意一个整数a如果和12互质，则a在Z12中存在乘法逆元，即存在b使得ab≡1(mod 12)。根据欧拉定理，当a和12互质时，有a^φ(12) ≡ 1(mod 12)，其中φ(12)=4是12的欧拉函数。

因此，在Z12中，与1、5、7、11互质的整数都是乘法可逆元，它们分别是1、5、7、11。

二、集合2Z关于加法运算构成的群不是循环群。

循环群是指存在一个元素a，使得该群中的每个元素都可以表示为a的幂，即该群是由a生成的。对于2Z，它的元素形如2n，其中n∈Z。假设2Z是循环群，那么存在一个元素a，使得2n=a^n对于所有的n都成立。但是，我们可以发现，当n为奇数时，左边是偶数，右边是奇数，不相等，因此2Z不是循环群。

三、集合｛(0 0) (0 a) | a∈R｝关于矩阵的加法和乘法不是整环。

整环是指一个集合同时满足加法和乘法封闭性、结合律、交换律、分配律、存在加法和乘法单位元、存在乘法逆元（对于非零元素）。这里我们分别考虑集合｛(0 0) (0 a) | a∈R｝关于矩阵的加法和乘法是否满足这些性质。

对于加法，任意两个矩阵的和仍然在集合中，满足封闭性。加法结合律、交换律、存在加法单位元都是成立的。但是，该集合中不存在加法逆元，因为对于任意一个矩阵(0 a)，不存在另一个矩阵(0 b)使得它们的和为(0 0)。因此，该集合关于矩阵的加法不是一个群，也就不满足整环的定义。

对于乘法，该集合中的任意两个矩阵的乘积也仍然在集合中，满足封闭性。但是，乘法不满足结合律。例如，对于矩阵(0 a)，(0 b)，(0 c)，有(0 a)((0 b)(0 c))=(0 a)(0 0)=(0 0)，而((0 a)(0 b(0 c))=(0 0)(0 c)=(0 0)，它们的乘积不相等，因此乘法不满足结合律。因此，该集合关于矩阵的乘法也不是整环。