matlab单调性求解😭

Question

14.试求解dx/dt=ax+b,x(0)=x0,并分别对a,b,x0取正负值的8种不同情况，讨论曲线的单调性及t→∞时的性状.画出曲线图形,并将它们合理分类.

Answer 1

该回答引用gpt：
根据题意，我们需要分别讨论 $a,b,x_0$ 取正负值的 8 种不同情况。为了方便讨论，我们可以画出相应的 $a-b$ 平面和 $a-x_0$ 平面，如下图所示：

接下来，我们分别讨论这 8 种情况：

1. $a>0, b>0, x_0>0$

根据题意，可得：

$$\frac{dx}{dt}=ax+b>0$$

因此 $x$ 随时间单调递增，且 $x$ 的增长速度随时间增加而加快。当 $t\rightarrow\infty$ 时，$x$ 趋近于无穷大。曲线如下图所示：

1. $a>0, b>0, x_0<0$

根据题意，可得：

$$\frac{dx}{dt}=ax+b<0$$

因此 $x$ 随时间单调递减，且 $x$ 的减少速度随时间增加而加快。当 $t\rightarrow\infty$ 时，$x$ 趋近于负无穷大。曲线如下图所示：

1. $a>0, b<0, x_0>0$

根据题意，可得：

$$\frac{dx}{dt}=ax+b>0$$

当 $x>-\frac{b}{a}$ 时，$x$ 随时间单调递增，且 $x$ 的增长速度随时间增加而加快；当 $x<-\frac{b}{a}$ 时，$x$ 随时间单调递减，且 $x$ 的减少速度随时间增加而加快。当 $t\rightarrow\infty$ 时，$x$ 趋近于无穷大或 $-\frac{b}{a}$。曲线如下图所示：

1. $a>0, b<0, x_0<0$

根据题意，可得：

$$\frac{dx}{dt}=ax+b<0$$

当 $x>-\frac{b}{a}$ 时，$x$ 随时间单调递增，且 $x$ 的增长速度随时间增加而加快；当 $x<-\frac{b}{a}$ 时，$x$ 随时间单调递减，且 $x$ 的减少速度随时间增加而加快。当 $t\rightarrow\infty$ 时，$x$ 趋近于负无穷大或 $-\frac{b}{a}$。曲线如下图所示：

1. $a<0, b>0, x_0>0$

根据题意，可得：

$$\frac{dx}{dt}=ax+b<0$$

当 $x>-\frac{b}{a}$ 时，$x$ 随时间单调递减，且 $x$ 的减少速度随时间增加而加快；当 $x<-\frac{b}{a}$ 时，$x$ 随时间单调递增，且 $x$ 的增长速度随时间增加而加快。当 $t\rightarrow\infty$ 时，$x$ 趋近于无穷小或 $-\frac{b}{a}$。曲线如下图所示：

1. $a<0, b>0, x_0<0$

根据题意，可得：

$$\frac{dx}{dt}=ax+b>0$$

当 $x>-\frac{b}{a}$ 时，$x$ 随时间单调递减，且 $x$ 的减少速度随时间增加而加快；当 $x<-\frac{b}{a}$ 时，$x$ 随时间单调递增，且 $x$ 的增长速度随时间增加而加快。当 $t\rightarrow\infty$ 时，$x$ 趋近于无穷小或 $-\frac{b}{a}$。曲线如下图所示：

1. $a<0, b<0, x_0>0$

根据题意，可得：

$$\frac{dx}{dt}=ax+b<0$$

因此 $x$ 随时间单调递减，且 $x$ 的减少速度随时间增加而加快。当 $t\rightarrow\infty$ 时，$x$ 趋近于负无穷大。曲线如下图所示：

1. $a<0, b<0, x_0<0$

根据题意，可得：

$$\frac{dx}{dt}=ax+b>0$$

因此 $x$ 随时间单调递增，且 $x$ 的增长速度随时间增加而加快。当 $t\rightarrow\infty$ 时，$x$ 趋近于无穷大。曲线如下图所示：

综合以上讨论，我们可以将这 8 种情况分为以下三类：

• 当 $a>0$ 时，曲线单调递增，且 $t\rightarrow\infty$ 时 $x$ 趋近于无穷大。
• 当 $a<0$ 时，曲线单调递减，且 $t\rightarrow\infty$ 时 $x$ 趋近于负无穷大。
• 当 $a=0$ 时，曲线为一条水平直线。