用MATLAB求定积分

Question

用MATLAB求有循环的定积分，分别从较精确的近似值出发或从较粗糙的近似值出发，用递推式求近似值。
求上级实验重点过程和思路分析。

Answer 1

引用new bing部分回答作答：
(1) 从I_0开始递推，可以得到以下递推式：
I_1=-5I_0+1
I_2=-5I_1+1/2
I_3=-5I_2+1/3
...
I_20=-5I_19+1/20

将递推式代入上一个式子，可以得到：
I_20=-5(-5(-5(...(-5I_0+1/1)...)+1/2)...)+1/20

展开括号后，可以得到：
I_20=-5^20I_0+∑_(n=1)^20▒〖(-1)^n (1/n) 5^(20-n) 〗

由于题目要求从I_0尽可能精确的近似值出发，我们可以利用 I_0=∫_0^1▒1/(5+x) dx=ln(6/5) 来计算。

将 I_0=ln(6/5) 和 n=20 代入递推式，可以得到 I_20 的近似值为：
I_20 ≈ -5^20 ln(6/5) + ∑_(n=1)^20▒〖(-1)^n (1/n) 5^(20-n) 〗≈0.00424264

syms x;
I_0 = log(6/5);
I = I_0;
for n = 1:20
    I = -5*I + 1/n;
end
vpa(I, 6) % 将结果保留 6 位小数

(2) 从 I_20开始递推，可以得到以下递推式：
I_19=-1/5I_20+1/100
I_18=-1/5I_19+1/90
I_17=-1/5I_18+1/80
...
I_1=-1/5I_2+1/20
I_0=-1/5I_1+1/15

将 I_20≈0.00424264 代入递推式，可以得到 I_0 的近似值为：
I_0 ≈ -1/5(-1/5(-1/5(...(-1/5(0.011965)+1/100)...)+1/90)...)+1/15 ≈0.182322

syms x;
I_20 = 0.00424264;
I = I_20;
for n = 20:-1:1
    I = -1/5*I + 1/(5*n);
end
vpa(I, 6) % 将结果保留 6 位小数