点云匹配ICP算法求解方法

Question

拿到一个算法公式，不知道怎么推的，不知道有没有大佬能帮忙看一下；
首先明确的是采用PL-ICP算法，即误差估计采用点到直线的距离。根据文献知道要求解的问题是个最小二乘问题，下面几个图是文献内容
，忽略拉格朗日余项得到，图片说明,我根据这个公式写的matlab代码仿真结果不对，然后大佬给我的代码里面 M矩阵是一样的，但是右边g矩阵跟我推出来不一样，我就不知道这个g矩阵他是怎么推的

```       temp_term = point_cloud_new.x(index_new) * sin(point_cloud_ref.gamma(index_ref) - delta_pose.theta) - point_cloud_new.y(index_new) * cos(point_cloud_ref.gamma(index_ref) - delta_pose.theta);

        % 采用初始位姿变换后的新建点云对应点
        transformed_x = cos(delta_pose.theta)*point_cloud_new.x(index_new) - sin(delta_pose.theta)*point_cloud_new.y(index_new) + delta_pose.x;
        transformed_y = sin(delta_pose.theta)*point_cloud_new.x(index_new) + cos(delta_pose.theta)*point_cloud_new.y(index_new) + delta_pose.y;

        % 点到直线的距离
        point_line_dis = cos_gamma * (transformed_x - point_cloud_ref.x(index_ref)) + sin_gamma * (transformed_y - point_cloud_ref.y(index_ref));

        % 计算(H'H)
        M(1, 1) = cos_gamma * cos_gamma;
        M(1, 2) = cos_gamma * sin_gamma;
        M(1, 3) =  cos_gamma * temp_term;
        M(2, 2) =  sin_gamma * sin_gamma;
        M(2, 3) = sin_gamma * temp_term;
        M(3, 3) = temp_term * temp_term;

        % 计算H'h(\Delta x_0,\Delta x_0,\Delta \theta_0)

        m(1) = cos_gamma * point_line_dis;
        m(2) = sin_gamma * point_line_dis;
        m(3) = temp_term * point_line_dis;


            % 计算逆矩阵
            M_inv = inv(M);

                % 计算位姿变换参数的增量
            d_pose = -(M_inv * m);

就是这个m矩阵，不知道怎么退出来的

Answer 1

让阿豪来帮你解答，本回答参考chatgpt3.5编写提供，如果还有疑问可以评论或留言

根据文献提供的信息，我们可以推导出公式中的m矩阵。首先我们来看原始问题的最小二乘求解过程： 假设有点到直线的距离公式为：$d = ax + by + c$，其中$(a,b)$为直线的法向量，$(x,y)$为点的坐标。我们的目标是通过拟合点云的多个点到直线的距离，从而求解最优的直线参数$(a,b,c)$。 首先构造误差函数：$ E = \sum_{i=1}^{n} (ax_i+by_i+c)^2 $，其中$(x_i,y_i)$为第i个点的坐标。对误差函数求导并令其为0，即可求解出最小二乘解$(a,b,c)$。 根据文献提供的推导过程和代码，我们可以得到m矩阵的表达式： $ m = H^T d $，其中H表示设计矩阵，d表示误差向量。 给出一个简单的示例代码，用于计算m矩阵：

% 假设有点云数据
point_cloud = [1, 2; 3, 4; 5, 6]; % 每行表示一个点的坐标(x,y)
line_param = [1; 1; 0]; % 假设直线参数(a,b,c)
% 构造设计矩阵H
H = [point_cloud(:,1), point_cloud(:,2), ones(size(point_cloud,1),1)];
% 计算点到直线的距离
distances = (H * line_param);
% 构造误差向量d
d = distances;
% 计算m矩阵
m = H' * d;

通过以上代码，我们可以计算出m矩阵。希望这个解答对你有帮助，如果有任何问题请随时追问。