离散数学二元关系求商集

Question

求大佬解答一下如何求商集！

 

Answer 1

晚上好🌙🌙🌙
本答案参考ChatGPT-3.5

(1) 关系R的关系矩阵如下所示：

      a  b  c  d  e
   ---------------
a |  1  0  0  0  0
b |  0  1  1  0  0
c |  0  1  1  0  0
d |  0  0  0  1  1
e |  0  0  0  1  1

矩阵中的行和列表示集合A的元素，矩阵中的元素表示对应元素之间是否存在关系R。

(2) 要判断关系R是否为等价关系，需要满足以下三个条件：

• 自反性：对于集合A中的每个元素x，都有(x, x) ∈ R。
• 对称性：对于集合A中的任意元素x和y，若(x, y) ∈ R，则(y, x) ∈ R。
• 传递性：对于集合A中的任意元素x、y和z，若(x, y) ∈ R 且 (y, z) ∈ R，则(x, z) ∈ R。

对于关系R={<a,a>,<b,b>,<b,c>,<c,b>,<c,c>,<d,d>,<d,e>,<e,d>,<e,e>}，我们可以逐个检查上述条件：

• 自反性：对于集合A中的每个元素，都可以在关系R中找到与自身相关的对应元素，因此自反性成立。

• 对称性：对于关系R中的每个有序对(x, y)，如果存在(x, y) ∈ R，则必须存在(y, x) ∈ R。在关系R中，我们可以看到存在<b, c>，但不存在<c, b>，因此对称性不成立。

• 传递性：对于关系R中的每个有序对(x, y)和(y, z)，如果存在(x, y) ∈ R 且 (y, z) ∈ R，则必须存在(x, z) ∈ R。在关系R中，我们可以看到存在<b, c> 和<c, b>，但不存在<b, b>，因此传递性不成立。

因此，关系R不是等价关系。

商集R/A是指根据等价关系R将集合A划分成不相交的等价类。在这种情况下，我们需要找到集合A中的所有等价类。

根据关系R的关系矩阵，我们可以看到：

• 等价类[ a ] = { a }
• 等价类[ b ] = { b, c }
• 等价类[ d ] = { d, e }

商集R/A = { [ a ], [ b ], [ d ] }

其中，[ a ] 表示等价类，它包含与元素 a 有关系R的所有元素。同样地，[ b ] 和 [ d ] 分别表示与元素 b 和 d 有关系R的所有元素的等价类。这些等价类构成了商集R/A。

希望这能帮助到您！如果您有任何其他问题，请随时提问。