丢番图方程/恒等式的推导（最小方差控制过程）

Question

在做最小方差控制的时候看到这样一步推导过程，把传递函数通过丢番图分解为如下等式，但是没给出具体过程，想问问大家该如何理解这一步，我在网上搜丢番图也没有搜到相关的资料。

另外，我找了一个实例，给出了一个简单过程的丢番图恒等式表示，如下
传递函数模型

已知τ1=4，τ2=1，-τ1-τ2=-5
得到以下丢番图分解：

这里看不懂怎么得到的，具体过程是什么，求大家解答
另外，基于MATLAB语言如何实现这个变换过程？