极限中等价无穷小的使用

Question

x趋向0 为什么cosx－1要等价于1/2x²而不是零呢
为什么有的题就让cosx等于一 有的题就要凑一个－1让其等于二分之一x²呢

Answer 1

等价通常只能在乘除的时候用，在加减运算上可能会出一点问题。等价的本质是同阶无穷小。

cos x的泰勒展开式为：1-1/2!x^2+1/4!x^4+...，在1存在的时候可以将后面的高阶无穷小舍去
cos x-1的泰勒展开式为：-1/2!x^2+1/4!x^4+...，此时1/2x^2项不能舍去

x趋于0时，乘除时cos x可以等于1，因为-1/2x^2对于1来说是高阶无穷小，所以可以舍去。加减时不能，1被减去，剩下的最低阶无穷小是-1/2x^2，所以不能舍去