参考GPT和自己的思路：
一、选择
1 C.分配律
2 C.4
3 A.无穷远点只有一个
4 D.若是模的一个原根,则当时,也是模的一个原根。
5 D.实数环
二、填空
1 φ(258)=96
2 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
3 若p为素数，则ap-1≡1(mod p)
4 椭圆曲线
5 单位环
三、判断
1 错误。非零整数的因数包括1和本身，但不一定是自身的倍数。
2 正确。根据同余关系的传递性可知：如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
因此，对于a≡b(mod m)，我们可以写成a-b=km，其中k是整数。
将a和b分别表示为a1d和b1d，则有a1d-b1d=km，即(a1-b1)d=km。因此，a1≡b1(mod m)。
因此，如果a≡b(mod m)，则a1≡b1(mod m)是正确的。
3 错误。P(B)关于集合的并运算构成环，不满足交运算的封闭性。
4 错误。非奇异的二次曲线被称为椭圆曲线，非奇异的三次曲线被称为椭圆曲线。
四、解答
第1题 首先我们需要找到一组特解，可以使用辗转相除法求解7x+11y=1的一组解，例如：
11 = 1 * 7 + 4
7 = 1 * 4 + 3
4 = 1 * 3 + 1
1 = 4 - 1 * 3 = 4 - 1 * (7 - 1 * 4) = 2 * 4 - 1 * 7 = 2 * (11 - 1 * 7) - 1 * 7 = 2 * 11 - 3 * 7
因此，一组特解为x=2，y=-3。
然后，我们可以通过变换k=100/7，得到通解为x=2+11k，y=-3-7k。其中k为整数，将k分别取0,1,-1,2,-2,...即可得到所有整数解。
第2题 对15x≡21(mod 9)两边同时除以最大公约数3，得到5x≡7(mod 9)。使用扩展欧几里得算法求解5x+9y=1的一组解，例如：
9 = 1 * 5 + 4
5 = 1 * 4 + 1
1 = 5 - 1 * 4 = 5 - 1 * (9 - 1 * 5) = 2 * 5 - 1 * 9
因此，一组特解为x=2，y=-1。
然后，我们可以通过变换k=7/5，得到通解为x=2+9k，y=-1-5k。其中k为整数，将k分别取0,1,-1,2,-2,...即可得到所有同余式的解。
第3题 由于x≡2(mod3)和x≡2(mod5)是两个线性同余方程，我们可以使用中国剩余定理求解。首先，我们可以使用扩展欧几里得算法求解3y+5z=1的一组解，例如：
5 = 1 * 3 + 2
3 = 1 * 2 + 1
1 = 3 - 1 * 2 = 3 - 1 * (5 - 1 * 3) = 2 * 3 - 1 * 5
因此，一组特解为y=2，z=-1。
然后，我们可以通过变换k=2(mod3)和k=1(mod5)，得到通解为x=2+15k。其中k为整数，将k分别取0,1,-1,2,-2,...即可得到所有同余式组的解。
第4题 根据 RSA 算法，加密公式为: C ≡ M^e (mod n)，其中 C 表示密文，M 表示明文，e 表示公钥，n 表示模数。解密公式为: M ≡ C^d (mod n)，其中 d 表示私钥。
首先，计算 n = p * q = 11 * 17 = 187。
根据欧拉函数，有 phi(n) = (p - 1) * (q - 1) = 160。
找到一个与 phi(n) 互质的整数 e，且 e 满足 1 < e < phi(n)，选择 e = 3。
求解得到私钥 d，满足 d ≡ e^-1 (mod phi(n))，即 d ≡ 107 (mod 160)。
因此，公钥为 (e, n) = (3, 187)，私钥为 (d, n) = (107, 187)。
加密字母 A，对应 ASCII 码为 65，将 65 作为明文 M 进行加密。计算 C ≡ M^e (mod n)，即 C ≡ 65^3 (mod 187)，得到 C = 147。
解密密文 C，计算 M ≡ C^d (mod n)，即 M ≡ 147^107 (mod 187)。
可以使用快速幂算法来计算 M，具体过程如下：
将指数 d 转化为二进制数，例如：107 = 1101011。
从右往左遍历二进制数，将计算过程依次平方并取模。
初始时，取 base = C = 147，因为第一位是 1。
遇到二进制数中的 1，即第 1、3、4、6 位，进行平方并取模。
第 1 位：base = base^2 % n = 147^2 % 187 = 174。
第 3 位：base = base^2 % n = 174^2 % 187 = 85。
第 4 位：base = base^2 % n = 85^2 % 187 = 96。
第 6 位：base = base^2 % n = 96^2 % 187 = 65。
最终得到 M = 65，表示明文为字母 A。
因此，加密后的密文为 147，解密后的明文为 65，表示字母 A。
第5题 在<Z4,⊕>群中：
3的逆元素是什么？
首先计算3的所有幂次：
3^0 = 1
3^1 = 3
3^2 = 1
3^3 = 3
...
我们可以发现，3的幂次交替为1和3，所以3没有逆元素。
(-3+5)的逆元素是什么？
(-3+5)可以化简为2。因此，我们需要找到2的逆元素，即满足2⊕a=0的a。由于在<Z4,⊕>群中只有4个元素，可以列出所有可能的组合：
0⊕0=0
0⊕1=1
0⊕2=2
0⊕3=3
1⊕0=1
1⊕1=0
1⊕2=3
1⊕3=2
2⊕0=2
2⊕1=3
2⊕2=0
2⊕3=1
3⊕0=3
3⊕1=2
3⊕2=1
3⊕3=0
可以看出，2没有逆元素。
(-2)^3+(-2)^-4的值是多少？
首先计算(-2)^3：
(-2)^3 = (-2)⊕(-2)⊕(-2) = 0
然后计算(-2)^-4。在<Z4,⊕>群中，每个元素的逆元素都是其本身，所以(-2)^-4就是(-2)^4=2：
(-2)^-4 = (-2)^4 = 2
因此，(-2)^3+(-2)^-4=0+2=2。
对于Z5的剩余类环中的多项式：
f(x) = 3x^5 -5x^3 +7x^2-13
g(x) = 2x^2-5x-4
计算f(x)+g(x)：
f(x)+g(x) = (3x^5 -5x^3 +7x^2-13) + (2x^2-5x-4)
= 3x^5 -5x^3 +9x^2 -5x -17
计算f(x)*g(x)：
f(x)*g(x) = (3x^5 -5x^3 +7x^2-13) * (2x^2-5x-4)
= 6x^7 -15x^6 -4x^5 +10x^4 +23x^3 -31x^2 -1x +52
注意，这里的乘法是在模5的意义下进行的，因此需要对系数进行取模运算。
