信息安全数学基础解答

Question

一、选择
1.公式(AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C),说明集合中的交运算对并运算满足（ ）。
A.交换律 B.结合律 C.分配律 D.消去一次2.同余式6x≡48(mod 96)的解数是（ ）。
A. 6 B. 3 C. 4 D. 8
3.下列说法中错误的是（ ）。
A.无穷远点只有一个
B.经过同一个无穷远点的所有直线相互平行,经过不同无穷远点的两直线不平行
C.一条直线的无穷远点有且只有一个
D.平面上全体无穷远点构成一条无穷远直线
4.以下说法中错误的一项是（ ）。
A.并不是所有数都有原根。
B.如果一个数有原根,原根也不一定是唯一的。
C.若模的存在原根,则原根有个
D.若是模的一个原根,则当时,也是模的一个原根。
5.对于数集上的普通加法和普通乘法，以下说法错误的是（ ）。
A.自然数环 B.整数环 C.有理数环 D.实数环
二、填空
1.计算φ(258)的值为 。
2.写出模11的简化剩余系 。
3.费马小定理：设为素数，则 。
4.一般的，将的三次曲线称为 。
5.若<R,+,∙>环中乘法∙存在单位元，则称R是 。
三、判断
1.任何非零整数是其自身的倍数,也是其自身的因数。（ ）
2.若a≡b(mod m),a=a1d,b=b1d,则a1≡b1(mod m)。（ ）
3.集合的幂集P(B)关于集合的交运算和并运算构成环。（ ）
4.只有非奇异的三次曲线被称为椭圆曲线。（ ）
5.域K任意点坐标(x,y)称为仿射坐标,引入一个新参量z∈Z,则三维坐标(X,Y,Z)=(xz,yz,z)。（）
四、解答
求7x+11y=100的一切整数解。

求一次同余式15x≡21(mod 9)的解。

Answer 1

参考GPT和自己的思路：
一、选择

1 C.分配律
2 C.4
3 A.无穷远点只有一个
4 D.若是模的一个原根,则当时,也是模的一个原根。
5 D.实数环
二、填空

1 φ(258)=96
2 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
3 若p为素数，则ap-1≡1(mod p)
4 椭圆曲线
5 单位环
三、判断

1 错误。非零整数的因数包括1和本身，但不一定是自身的倍数。
2 正确。根据同余关系的传递性可知：如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。

因此，对于a≡b(mod m)，我们可以写成a-b=km，其中k是整数。

将a和b分别表示为a1d和b1d，则有a1d-b1d=km，即(a1-b1)d=km。因此，a1≡b1(mod m)。

因此，如果a≡b(mod m)，则a1≡b1(mod m)是正确的。
3 错误。P(B)关于集合的并运算构成环，不满足交运算的封闭性。
4 错误。非奇异的二次曲线被称为椭圆曲线，非奇异的三次曲线被称为椭圆曲线。
四、解答

首先求出7x和11y分别在模11下的逆元，由于7和11互质，所以7在模11下的逆元为8，11在模7下的逆元为6。则有：
7x≡100(mod 11)
x≡8×100(mod 11)
x≡2(mod 11)

11y≡100(mod 7)
y≡6×100(mod 7)
y≡4(mod 7)

因此，7x+11y=100的所有整数解为{(2,4),(13,8),(24,12),...}。

15x≡21(mod 9)可化为3x≡3(mod 9)，因为15和21都是3的倍数。根据同余式的性质，可知3和9互质，所以3在模9下有逆元3^-1=6，两边同时乘以6，得到：
x≡6×3(mod 9)
x≡18(mod 9)
x≡0(mod 9)

因此，15x≡21(mod 9)的解为x=9k，其中k为任意整数。

如果对您有帮助，请给与采纳，谢谢