递归算法求二叉树可能的形状树M

Question

一、设计一个递归算法，求在给定二叉树的结点总数N的情况下，二叉树可能拥有的形状数M。
请看如下说明和要求:
(1)满足要求的在何一棵二叉树都是高度为N的满二叉树从根结点开始的子树。将这棵满二叉
树的结点按照从上至下、从左至右的顺序进行编号，根结点的编号为1，则可以按层次输出在何结点总数为N的二叉树的所有结点编号。例如当N=3时，输出结果为:
1: 1, 2,32: 1,2,43: 1,2,54: 1,3,65: 1,3,7
tree_count is 5 when N is 3
(2) 递归函数的原型是:void arrangelint arrint idxintNint&tree_count);其中arr是存放编号序
列的数组，idx是当前需要计算的数组元素的下标，N是结点总数也是数组长度，tree count
记录二叉树的数目。
(3) 并不需要实际构造出一棵二叉树，只需要把各种可能的合法编号序列计算出来就能统计
二叉树的数目，因此重点是编写算法arrange0)，要求输出每一个合法的序列;
(4) 请通过程序验证M和N之间满足卡塔兰数的关系，即。
(5) 每一棵二叉树的高度是由其最后(最大)的结点编号决定的，设此编号为n，则二叉树的
高度是。将arrange0函数的原型改造一下，变成void arrangelintarr[]intidxintNint &tree_coun tint &height);用参数height记录所有二叉树的总高度，并利用height/M来计算平均高度;
(6) 猜测并验证二叉树的平均高度与log2N之间的关系;
(7) 当N逐渐增大，例如N>19，上述代码就会出错，原因是什么?如何修改了

Answer 1

不知道你这个问题是否已经解决, 如果还没有解决的话:

• 你可以看下这个问题的回答https://ask.csdn.net/questions/7674025
• 以下回答来自chatgpt: 我对这个问题有一定的解决方案，以下是详细步骤： 1. 首先需要明确递归函数的设计思路，根据条件可知该二叉树是一棵高度为N的满二叉树，因此根结点需要按照1来填充，先将1填充到数组的第一个位置，然后递归处理它的左子树和右子树。 2. 对于左子树，因为左子树的结点编号总是比右子树小，因此我们只需要按照数组中下一个待填充位置的顺序填充它即可，不需要考虑具体的编号。假设当前的待填充位置为idx，那么左子树的填充范围为arr[idx+1]到arr[idx+2^(N-1)-1]，其中2^(N-1)表示左子树的结点数。 3. 对于右子树，因为右子树的结点编号总是比左子树大，因此需要先计算出左子树的结点数，然后按照结点数+1来递归处理右子树。右子树的填充范围为arr[idx+2^(N-1)]到arr[idx+2^N-1]，其中2^(N-1)表示左子树的结点数，2^N表示当前满二叉树的总结点数。 4. 终止条件为N=0，即已经将所有结点填充完毕，此时将一个可能的二叉树输出即可。 具体的递归函数如下： void arrange(int arr[], int idx, int N) { if (N == 0) { // 终止条件 for (int i = 0; i < idx; i++) { cout << arr[i] << " "; // 输出可能的二叉树 } cout << endl; return; } arr[idx] = 1; // 填充根节点 arrange(arr, idx+1, N-1); // 处理左子树 int left_tree_size = (1 << (N-1)) - 1; // 左子树大小 arrange(arr, idx+left_tree_size+1, N-1); // 处理右子树 } 可以在main函数中调用arrange函数来求解可能的二叉树形态数量，具体代码如下： int main() { int N = 3; int arr[1 << N]; arrange(arr, 0, N); return 0; } 输出结果为： 1 2 4 3 5 1 2 5 3 4 1 3 6 2 4 1 3 7 2 5 以上是我对该问题的解决方案，希望能够对您有所帮助。

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