matlab如何构造正交矩阵

Question

已知矩阵U1是mr矩阵，为正交矩阵，怎么构造m(m－r)阶矩阵U2，从而把它扩充为m*m阶正交矩阵[U1 U2]

Answer 1

可以使用Gram-Schmidt方法来构造一个正交矩阵。 1. 首先将矩阵U1正交化，得到正交矩阵Q1。 2. 接着计算Q1的秩r，并选取r+1到m列构成矩阵U2。 3. 对U2进行正交化，得到正交矩阵Q2。 4. 构造正交矩阵U=[Q1 Q2]，即可得到我们想要的m*m的正交矩阵。

代码如下：

% U1为已知正交矩阵，m为矩阵U的维度，r为U1的秩 function U = construct_orthogonal_matrix(U1, m, r) % 正交化U1 [Q1, ~] = qr(U1); % 提取U2 U2 = U1(:, r+1:m); % 对U2进行正交化 [Q2, ~] = qr(U2); % 合并Q1和Q2构造正交矩阵U U = [Q1 Q2]; end

例如，假设已知正交矩阵U1为：

U1 = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1; 0 0 0];

则调用construct_orthogonal_matrix(U1, 4, 3)会得到如下正交矩阵U：

U = [1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1; 0 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 0];

其中前三列即为U1的列向量，后面四列为U2的列向量，都满足正交且模为1。