已知矩阵U1是mr矩阵,为正交矩阵,怎么构造m(m-r)阶矩阵U2,从而把它扩充为m*m阶正交矩阵[U1 U2]
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可以使用Gram-Schmidt方法来构造一个正交矩阵。 1. 首先将矩阵U1正交化,得到正交矩阵Q1。 2. 接着计算Q1的秩r,并选取r+1到m列构成矩阵U2。 3. 对U2进行正交化,得到正交矩阵Q2。 4. 构造正交矩阵U=[Q1 Q2],即可得到我们想要的m*m的正交矩阵。
代码如下:
% U1为已知正交矩阵,m为矩阵U的维度,r为U1的秩 function U = construct_orthogonal_matrix(U1, m, r) % 正交化U1 [Q1, ~] = qr(U1); % 提取U2 U2 = U1(:, r+1:m); % 对U2进行正交化 [Q2, ~] = qr(U2); % 合并Q1和Q2构造正交矩阵U U = [Q1 Q2]; end
例如,假设已知正交矩阵U1为:
U1 = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1; 0 0 0];
则调用construct_orthogonal_matrix(U1, 4, 3)会得到如下正交矩阵U:
U = [1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1; 0 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 0];
其中前三列即为U1的列向量,后面四列为U2的列向量,都满足正交且模为1。
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