如何通过求后验分布求得样本中属于两种物种其中一种的概率？

Question

问题：两种物种，物种A平均质量10，标准差5；物种B平均质量15，标准差2.5。现在从一群生物中选出20个已知质量的样本，怎么通过这些样本估算这群生物属于各物种的比例？
需求：先设一个uniform从0-1的先验p,怎么通过求p的后验分布图像求得这群生物属于物种A的比例？（用PyMC做）
如果可以的话请讲一下背后的数学原理，谢谢！

Answer 1

该回答通过自己思路及引用到GPTᴼᴾᴱᴺᴬᴵ搜索并已验证,得到内容具体如下：
首先，我们需要导入所需的库，并定义物种A和物种B的参数。然后，我们将使用PyMC3库来构建贝叶斯模型，并通过后验分布计算样本中属于两种物种其中一种的概率。

以下是完整的代码：

import numpy as np
import pymc3 as pm
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义物种A和物种B的参数
mean_A = 10
std_dev_A = 5
mean_B = 15
std_dev_B = 2.5

# 生成已知质量的样本
samples = np.random.normal(loc=[mean_A, mean_B], scale=[std_dev_A, std_dev_B], size=20)

# 使用PyMC3构建贝叶斯模型
with pm.Model() as model:
    # 定义先验分布
    prior = pm.Uniform('prior', lower=0, upper=1)

    # 定义似然函数
    likelihood_A = pm.Normal('likelihood_A', mu=mean_A, sigma=std_dev_A, observed=samples[:, 0])
    likelihood_B = pm.Normal('likelihood_B', mu=mean_B, sigma=std_dev_B, observed=samples[:, 1])

    # 定义后验分布
    posterior = pm.Deterministic('posterior', prior * (likelihood_A / (likelihood_A + likelihood_B)))

    # 采样
    trace = pm.sample(2000, tune=1000)

# 绘制后验分布图像
pm.plot_posterior(trace)
plt.xlabel('后验概率')
plt.ylabel('密度')
plt.show()

背后的数学原理是贝叶斯推断。在这个问题中，我们有一个已知质量的样本集合，以及两个物种（物种A和物种B）的参数。我们的目标是估计这两个物种在样本集合中的相对比例。

为了实现这个目标，我们首先定义了一个均匀分布作为先验分布，表示我们对物种A和物种B之间没有特定关系的信念。然后，我们定义了两个正态分布作为似然函数，分别对应于物种A和物种B的质量分布。最后，我们通过将先验分布与似然函数相乘来计算后验分布。

通过后验分布，我们可以观察到样本中属于两种物种其中一种的概率。在这个例子中，我们可以通过绘制后验分布图像来观察这个概率。

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