使用matlab计算自定义特殊函数的二重积分，改变积分顺序所得的结果不同的问题？

Question

自定义算符o_plus:当x+y属于[-1,1]时，o_plus(x,y)=x+y;x+y大于1时，o_plus(x,y)=1；x+y小于-1时，o_plus(x,y)=-1。例如函数y=o_plus(x,0)的图像如图1所示：
matlab编程如下
其中，phi函数的图像如下图2所示:
积分范围示意图如下图3所示：（代码中令b=pi）
所得结果不同，如下图4：
正常情况下，二重积分的结果与积分次序无关，所得结果不同是由于引入了自定义算符吗？哪种积分顺序是对的，应该如何计算呢？（或是我积分方式不对？)被积函数满足什么条件才能实现二重积分结果与积分顺序无关呢？

syms x y a b%所用变量
uy1=acos(y);
uy2=2*pi-acos(y);
phi=o_plus(int(cos(a)-y,a,uy1,uy2),1);%phi为y的函数
intexp=matlabFunction(phi*x*y);%phi*x*y为被积函数，转化为函数句柄
B31_mf=@(b) integral(@(y) integral(@(x) intexp(x,y),y,b),0,b,'ArrayValued',true);%二重积分的积分顺序为：先x后y，积分范围由b控制,(函数句柄)
B41_mf=@(b) integral(@(x) integral(@(y) intexp(x,y),0,x),0,b,'ArrayValued',true);%二重积分的积分顺序为：先y后x，积分范围由b控制,(函数句柄)
disp(B31_mf(pi))
disp(B41_mf(pi))

function output=o_plus(a,b)%o_+算符
output=min(max(a + b, -1), 1);
end

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

在自定义算符 o_plus 的情况下，积分结果确实可能依赖于积分顺序。这是因为 o_plus 不是一个线性运算符，并且它改变了原始函数的性质，这导致在不同的积分顺序下，被积函数的边界条件可能会有不同的应用方式。

当进行二重积分时，积分次序无关性的前提通常要求被积函数在整个积分区域上是连续且可交换的。对于标准的加法和乘法操作，这个条件通常满足，但对于您定义的 o_plus 函数，则不满足这一条件，因为它不是在所有输入上都保持加法的交换性。

以您的代码为例，您计算了两个不同积分顺序的结果：

1. 先对 x 积分再对 y 积分（B31_mf）：

   B31_mf=@(b) integral(@(y) integral(@(x) intexp(x,y),y,b),0,b,'ArrayValued',true);
   

2. 先对 y 积分再对 x 积分（B41_mf）：

   B41_mf=@(b) integral(@(x) integral(@(y) intexp(x,y),0,x),0,b,'ArrayValued',true);
   

由于 o_plus 函数的非线性特性，在某些区间内，先积分一个变量可能会导致在另一个变量的积分过程中边界条件发生改变。因此，要确定哪个积分顺序是“正确”的，您需要根据实际物理意义或数学问题的具体背景来分析。

如果想要确保积分结果与积分顺序无关，被积函数应满足以下条件：

• 在积分区域上连续。
• 对于任何固定的 y（或 x），对应的 x（或 y）部分关于 x（或 y）是可积的，并且该积分结果作为 y（或 x）的函数也必须在相应的积分区间上可积。

对于您的具体问题，您需要详细分析 phi 函数以及结合 o_plus 算子后形成的 intexp 函数在给定积分区间上的行为，才能准确判断哪种积分顺序更符合实际问题的意义，或者是否存在某个特定的解释使得两种积分顺序得到不同但都合理的结果。