关于相机在实际中的投影问题

Question

这是一个我目前在做的实验，相机不是垂直放置的，倾斜了一定的角度，f是焦距，d是实际物体的长度，d2是物体投影在像素平面上的像素长度，当它是垂直的时候可以用相似三角形原理找到d与d2之间的关系，但倾斜了一定的角度，它们的关系是怎么样的？ 这种问题是属于斜透视投影吗？ 有懂的朋友帮我解释或者解答一下嘛，谢谢~~。

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

根据您的描述，这个问题确实涉及到几何学中的投影原理，特别是斜透视投影。在相机倾斜的情况下，我们需要考虑两个主要因素：相机的倾斜角θ以及相机到物体的距离L。我们可以将这个场景分解为两部分来看待：首先，物体在空间中的位置，然后是这个位置如何被相机的镜头投影到图像平面上。

让我们先定义一些基本的变量：

• ( f ) 是焦距。
• ( L ) 是相机到物体的距离。
• ( d ) 是实际物体的长度（沿镜头对准的方向）。
• ( d_2 ) 是物体在像素平面上的投影长度。
• ( \theta ) 是相机相对于水平面的倾斜角度。

由于我们是在三维空间中讨论这个问题，我们可以构建一个三维坐标系，其中原点位于相机的位置，x轴指向右，y轴向上，z轴沿镜头方向。物体位于(0, 0, L)处，并且它的长度( d )沿着z轴。当相机倾斜时，它实际上看到的是物体的一个侧面投影，而不仅仅是z轴上的投影。

为了得到( d_2 )，我们可以使用三角函数来计算。首先，我们将问题简化为二维情况，因为我们只关心最终在图像平面上的投影长度。为此，我们需要找到从相机位置看向物体的视线方向，然后计算这个视线与物体长度方向的交点到相机平面的距离。

假设相机的视角是正方形的，我们可以将其视为一个无限远的平面，这样就可以忽略掉离焦距离的影响。因此，我们只需要关注从相机到物体的视线方向在图像平面上的投影。

对于视线方向，我们可以使用反正切函数来计算它在x-y平面上的分量。视线的x分量由( L \cdot \sin(\theta) )给出，y分量由( L \cdot \cos(\theta) )给出。然后，我们可以使用这两个值来计算视线在x-y平面上的投影点P的坐标。

接下来，我们需要找到物体长度方向上与视线相交的点Q。这可以通过设置Q点的z坐标等于L并解方程组来实现。一旦找到了Q点，我们就可以通过勾股定理计算出从相机到Q点在图像平面上的投影点的x和y坐标，从而得到( d_2 )。

这里有一个重要的注意点：在实际应用中，像素尺寸和相机传感器的大小也会影响最终的像素长度( d_2 )。不过，在这个简单的分析中，我们可以暂时忽略这些因素，因为它们主要影响比例，而不是投影的几何关系。

现在，让我们用数学公式表示这个过程：

1. 确定视线在x-y平面上的投影点P的坐标：

   • ( P_x = L \cdot \sin(\theta) )
   • ( P_y = L \cdot \cos(\theta) )

2. 解方程组找到交点Q的坐标：

   • 设Q的x坐标为( x_Q )，则 ( x_Q^2 + (L - d)^2 = L^2 ) （勾股定理）
   • 解得 ( x_Q = \sqrt{L^2 - (L - d)^2} )

3. 计算Q点在x-y平面上的投影点的坐标：

   • 由于我们简化了问题，可以认为相机到图像平面的距离无穷大，所以Q点在x-y平面上的投影点就是Q点本身，即 ( Q_{proj} = (x_Q, L \cdot \cos(\theta)) )

4. 最后，我们可以通过相似三角形原理来确定( d_2 )：

   • 假设像平面到相机的水平距离为h，则有 ( h = P_x )
   • 利用相似三角形的比例关系，我们有 ( \frac{d_2}{d} = \frac{h}{L} )
   • 所以 ( d_2 = \frac{d \cdot P_x}{L} )

以下是对应的Python代码片段，用于计算( d_2 )：

import math

def calculate_projected_length(f, L, d, theta):
    # 计算视线在x-y平面上的投影点P的坐标
    P_x = L * math.sin(math.radians(theta))
    P_y = L * math.cos(math.radians(theta))

    # 解方程组找到交点Q的坐标
    x_Q = math.sqrt(L**2 - (L - d)**2)

    # 计算Q点在x-y平面上的投影点的坐标
    Q_proj_x = x_Q
    Q_proj_y = L * math.cos(math.radians(theta))

    # 使用相似三角形原理计算d_2
    d_2 = (d * P_x) / L

    return d_2

您可以使用此函数来计算不同倾斜角度下的投影长度。请注意，这个模型忽略了像素尺寸、传感器大小等因素，如果您需要更精确的结果，您可能还需要考虑到这些因素。