多元函数全微分证明，高阶无穷小理解

Question

最近在学多元函数的全微分。就以简单的z＝f(x,y)为例。已经知道 △z＝ A△x+B△y+o(p)
dz＝A△x+B△y，在可微性的判定中，增量x,y都趋向于0。书上说 lim(△z-dz)/√△x²+△y²＝0
可是△z-dz不是等于 o（p）么，p＝√△x²+△y²。分子分母一样，为什么会是0呢？不该是1么？

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

关于你提到的多元函数全微分证明以及高阶无穷小的理解问题，让我们深入探讨一下。

首先，当讨论函数( z = f(x, y) )的全微分时，我们确实有： [ \Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(p) ] 其中( A )和( B )分别是函数对( x )和( y )的偏导数，( p = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} )，而( o(p) )表示比( p )高阶的无穷小。

接下来，全微分( dz )定义为： [ dz = A\Delta x + B\Delta y ]

你指出： [ \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)} \frac{\Delta z - dz}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} = 0 ]

这里的关键在于理解( o(p) )的含义。当我们说( o(p) )是比( p )高阶的无穷小，意味着( o(p) / p )当( p \to 0 )时趋近于0。因此，即使( o(p) )和( p )都是趋向于0的，但( o(p) )比( p )“更快”地趋向于0，即其速率更高。

具体到你的疑问： [ \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)} \frac{o(p)}{p} = 0 ]

这意味着： [ \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)} \frac{\Delta z - dz}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} = \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)} \frac{o(p)}{p} = 0 ]

这个极限为0表明了全微分( dz )确实是对函数增量( \Delta z )的线性近似，且随着点接近原点，这个近似的精度越来越高，直到在极限情况下完全吻合。

为了进一步说明这一点，我们可以考虑( o(p) )的定义。设( o(p) = kp^2 )，其中( k )是一个常数。则有： [ \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)} \frac{o(p)}{p} = \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)} \frac{k\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}^2}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} = \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)} k\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} = 0 ]

这清晰地展示了为什么比( p )高阶的无穷小( o(p) )在( p \to 0 )时会比( p )本身“更快”地趋向于0，从而确保了全微分的定义和性质。

希望这解释能够帮助你更深入地理解多元函数的全微分概念及其背后的数学逻辑。如果有任何进一步的问题或需要澄清的地方，请随时提问。