区间dp 游览观光问题

Question

Description
一条街道被分成m格（1<=m<=100），还有n个景点（1<=n<=100），分布在街道上。每个景点可以占据连续的若干格，并且有一个美学值v（0）。现要组织k个人考察这个街道（1<=k<=m），每个人考察的区域是连续的若干格（不可为0格），且任意两个人考察的区域不得相交，也不得有一个格子无人考察。对于任意一个人，如果它考察的区域中有一个风景点（风景点必须完整的位于这个区域），则它就得到了这个风景点的分值（美学值）。
问题：
你的任务是将街道的m个格子分给k个人去考察，使得总的分值最大。
Input
第一行一个整数m，表示街道的长度。
第二行一个整数n，表示风景点个数。
此后n行，每行描述一个风景点，三个整数x、y和v，表示该风景点是从第x个格子到第y个格子，美学值为v。
最后一行一个整数k，表示考察的人数。

Output
一个整数，表示最大可以得到的分值。

Sample Input
3
2
1 2 2
2 3 3
2
Sample Output
3

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我想套模板，但是题目中有人数要求和景点的范围要求，怎么样将大区间划分为小区间？同时如何知道每个人占用的地点是否涵盖景点？

Answer 1

以下内容由AIGC及阿里嘎多学长共同生成、有用望采纳：

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这个问题是一个典型的动态规划问题，可以通过区间DP（动态规划）来解决。以下是解决这个问题的详细步骤和思路：

1. 理解问题

• 街道长度：m
• 景点数量：n
• 每个景点：由三个整数x、y和v描述，表示从第x个格子到第y个格子，美学值为v。
• 考察人数：k

2. 输入数据

• 读取街道长度m。
• 读取景点数量n，然后读取每个景点的信息（x, y, v）。
• 读取考察人数k。

3. 初始化数据结构

• 使用数组或列表存储每个景点的信息。
• 使用二维数组dp存储动态规划的状态。

4. 动态规划算法

• 状态定义：dp[i][j]表示从第i个格子到第j个格子的考察区域的最大美学值。
• 状态转移：对于每个景点，考虑其是否包含在考察区域内，并更新dp数组。

5. 避免区域重叠

• 确保每个格子都被考察，且考察区域不重叠。

6. 计算美学值

• 如果某个考察区域包含一个完整的景点，则将该景点的美学值加到该区域的美学值中。

7. 最大化总分值

• 计算并输出所有考察者的最大总分值。

8. 编写代码实现

以下是一个C++代码示例，实现上述算法：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int m, n, k;
    cin >> m >> n;
    vector<pair<int, int>> sites(n);
    vector<int> values(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> sites[i].first >> sites[i].second >> values[i];
    }
    cin >> k;

    vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(m + 1, 0));

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int start = sites[i].first; start <= sites[i].second; start++) {
            for (int end = start; end <= sites[i].second; end++) {
                dp[start][end] = max(dp[start][end], dp[start - 1][end - 1] + values[i]);
            }
        }
    }

    int max_score = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = i; j <= m; j++) {
            if (j - i + 1 == k) {
                max_score = max(max_score, dp[i][j]);
            }
        }
    }

    cout << max_score << endl;
    return 0;
}

解释

• 首先，读取街道长度、景点数量和每个景点的信息。
• 使用dp数组存储从第i个格子到第j个格子的最大美学值。
• 对于每个景点，更新dp数组，考虑其是否包含在考察区域内。
• 最后，计算并输出所有考察者的最大总分值。

这种方法可以有效地解决题目中的问题，并确保每个格子都被考察且考察区域不重叠。