高斯消元为什么零的结果会有负号

Question

为什么我的结果会有负号。问题在哪里应该如何修改。求帮助。
大家帮帮忙

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

这个问题是关于线性代数中的高斯消元法(Gaussian elimination)。高斯消元是一种求解线性方程组的方法。在这个过程中，我们通常会遇到一些非零的系数乘以相同的一列，导致所有其他列都变为零的情况。这时，我们会发现某些列的系数非常大，以至于它们对整个行列式的影响很大。

对于c矩阵，当某个行的所有元素都是负数时，这意味着这个行的系数非常大，并且影响着整个行列式的值。由于行列式是一个向量的积，所以它将改变这个向量的方向。因此，当我们从c矩阵中选择一个方向来旋转，这个方向的系数就会影响最终结果的方向。

在你的例子中，如果你看到一个非零的负数出现在某个行的最后一个元素上，那么这表明这个行的系数非常大，而这个系数可能会影响到整个行列式的大小。这是因为c矩阵是一个对称矩阵，意味着它的行和列是相同的。

解决这个问题的一个方法是找到一个正数的行并将其移到最前面，这样就可以使得整个行列式变得更大，从而影响到最终的结果。但是，这并不是唯一的解决方案，因为高斯消元实际上是在最小化行列式的大小，而不是最大化它。所以，有时候我们需要找到一种方式来重新排列行，以减少或者消除负数。

此外，还有一个技巧可以用来处理这种情况，那就是将c矩阵转换成对角矩阵。这样做的好处是可以简化计算过程，同时也可以更容易地识别出哪些行需要进行旋转。

// 将c矩阵转换为对角矩阵
void convertToDiagonalMatrix(double* c) {
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        double max = c[i][i];
        int rowIndex = i;
        for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
            if (fabs(c[j][i]) > max) {
                max = fabs(c[j][i]);
                rowIndex = j;
            }
        }
        // 如果max不等于0，表示存在负数，需要进行旋转
        if (max != 0) {
            swap(c[rowIndex][i], c[i][i]);
        }
    }
}

这个函数首先遍历所有的行，找到最大值所在的行，然后交换这个行和行内最大的值所在的行。这样，我们就能得到一个对角矩阵，其中只有正值的行，这样我们就不需要担心负数的问题了。

然后，我们可以继续执行高斯消元，直到达到最优解。这是一个迭代的过程，每次都会检查新的行是否需要进行旋转，直到没有额外的负数为止。

// 简单的高斯消元算法
void gaussElimination(double* b, double* c, double* x) {
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        double pivot = c[i][i];
        if (fabs(pivot) <= 1e-8) {
            cout << "Error: Division by zero in the matrix." << endl;
            return;
        }

        // 指定pivot作为当前行的主元
        for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
            double factor = c[j][i] / pivot;
            for (int k = i; k < n; ++k) {
                c[j][k] -= factor * c[i][k];
            }
        }

        // 更新x[i]
        for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
            b[j] -= factor * b[i];
        }
    }
}

这个函数首先找到主元所在的行，然后根据主元来调整其余的行。这样，我们就能确保主元位于每一行的第一个位置，同时也能确保主元大于0。

这个简单的高斯消元算法可能会有一些局限性，因为它并不总是能找到最优解。但是，它可以作为一个起点，帮助我们更好地理解如何处理负数的问题。