为什么说批量梯度下降法在理论上可以达到全局最优解，但有时候任然无法达到全局最优解

Question

无法达到最优解的原因无非是非凸函数，学习率，参数初始值这些，但同时也是SGD,MBGD这些的原因，那为什么还说批量梯度下降法与其他不同的是在理论上可以达到全局最优解
（刚入门，麻烦讲的通俗一点）

Answer 1

以下回复参考：皆我百晓生、券券喵儿等免费微信小程序作答:

首先，对于梯度下降法，无论是批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）还是随机梯度下降法（SGD）或小批量梯度下降法（MBGD），它们的目标都是找到函数的最低点（对于损失函数，这就是全局最优解）。在理论分析中，确实梯度下降法可以找到全局最优解。但在实际应用中，由于各种原因，可能无法达到全局最优解。下面解释为什么批量梯度下降法在理论上可以达到全局最优解以及为什么实际操作中可能无法达到的原因。

首先理解批量梯度下降法的基本原理：该方法按照整个数据集的损失函数来计算梯度并更新参数。这意味着每次更新都会考虑所有数据点的影响。在理论上，只要学习率选择合适，并且损失函数是凸函数（或者可以转化为凸函数的问题），批量梯度下降法能够收敛到全局最优解。这是因为在凸函数的环境中，全局最优解的路径是明确的，不会因为局部最优解的影响而偏离方向。

但在实际操作中，存在以下几个因素可能导致批量梯度下降法无法达到全局最优解：

1. 非凸函数：很多实际问题中的损失函数是非凸的，这意味着存在多个局部最优解。梯度下降法在寻找最小值时可能会被某个局部最优解吸引并停留在此处，无法继续向全局最优解移动。即使使用批量梯度下降法，也不能保证在所有非凸情况下都能找到全局最优解。
2. 参数初始值和学习率选择：参数初始值的选择会影响梯度下降的轨迹。如果初始值选择不当，可能导致算法被困在不好的局部最优解附近。此外，学习率的设置也是一个挑战。过大的学习率可能导致算法在优化过程中跳过全局最优解；而过小的学习率则可能导致算法进展缓慢或在局部最优解附近震荡。
3. 数据集大小和计算资源：当数据集非常大时，计算整个数据集的损失函数的梯度非常耗时，而且可能由于计算资源的限制而无法达到全局最优解。在这种情况下，即使使用批量梯度下降法，由于计算资源限制，可能只能处理部分数据，导致无法完全收敛到全局最优解。

虽然批量梯度下降法在实际操作中可能无法达到全局最优解，但在理论上，只要满足一定条件（如凸函数、合适的学习率等），它是可以找到全局最优解的。相对于SGD和MBGD，批量梯度下降法在处理整个数据集时的每一次更新都更为准确和全面，因此在理论上具有更好的收敛性。不过在实践中仍需注意非凸性、学习率选择等问题。