MATLAB如何写拉格朗日乘子法

Question

我有一组数（x,y），然后对其进行多项式拟合，式子就为这种普通的多项式

x = [0:5:40]; % x随意
y = pi/80*sin(1/40*pi*x)+(rand(size(x))-0.5)*pi/80*1/2;% y随意设置，在正弦函数上加了个随机浮动
n = 3; % n随意
x = x(:);
y = y(:);
S = zeros(length(x), n+1);
q = ones(length(x),1);
S(:,n+1)=q;
for i = n:-1:1
    q = q.*x;
    S(:,i) = q;
end
A = S'*S;
b = S'*y;
a = A\b;%最小二乘
G = 1./(n+1:-1:1).*40.^(n+1:-1:1); % 
aa = [A, G'; G, 0]\[b;1];%拉格朗日乘子法

这段代码中的G是如何写出来的，我没有看懂，拉格朗日乘子法应该是把积分形式写出来吧，如果是指数多项式的话，应该怎么写，或者下面这种单项多项式呢

Answer 1

我们观察aa，实际描述意思就是[A, G'; G, 0]C=[b;1]求C这个向量吧，
光看最后一行的话，就是说GC=1
举个例子，如果我们要拟合的为三次多项式，
多项式表达式为c0+c1x+c2x^2+c3x^3吧,那么它的积分就是
F(x)=c0x+c1*(1/2)x^2+c2(1/3)x^3+c3(1/4)x^4,
在0到40处的积分即为F(40)-F(0),也就是说每一项其实是
ck(1/(k+1))40^(k+1)-ck(1/(k+1))0^(k+1)=ck(1/(k+1))*40^(k+1),
就还拿3次方为例子假如G写作(40,(1/2)*40^2,(1/3)40^3,(1/4)40^4)
（其实就是代码第16行左右），
那么GC=1其实就表示
(140,(1/2)*40^2,(1/3)*40^3,(1/4)*40^4) * (c0,c1,c2,c3)'=1即在0到40区间积分为1