dft的对称性验证性证明

Question

复序列实部的离散傅立叶变换是不是就是复序列的离散傅里叶变换的实部

Answer 1

以下回答参考 皆我百晓生、券券喵儿 等免费微信小程序相关内容作答，并由本人整理回复。

复序列的离散傅里叶变换（DFT）和实序列的离散傅里叶变换（FFT）在理论上是相同的。然而，在某些情况下，我们可能会遇到一些特定的问题或特殊情况。

对于复序列，如果它们的模长是偶数，那么它们的DFT就具有对称性。这意味着对于复序列X(n) = X*(n)，其DFT X(k) 也满足 DFT(X)(k) = DFT(X*(k)) 对于所有 k。这可以通过计算得到：

DFT(X)(k) = ∑ n=0 N-1 X(n)e(-2πik/n)

其中N是序列长度，e(x)是虚数单位。这个表达式表明了序列的DFT是关于模长的一半进行对称的。换句话说，如果序列的模长为偶数，那么DFT的结果将是一个偶数量。

另一方面，如果序列的模长为奇数，则它的DFT并不总是对称的。在这种情况下，我们可以使用FFT算法来处理序列，因为它可以保持原序列的信息，并且不会导致任何数据丢失。

下面是一个简单的Python代码示例，展示了如何实现一个DFT函数，并检查序列是否是对称的：

import numpy as np

def dft(X):
    N = len(X)
    if N % 2 == 0:
        # 如果序列的模长为偶数，执行DFT
        return np.fft.fft(X)
    else:
        # 如果序列的模长为奇数，使用FFT算法
        Y = fft(X, N//2+1)
        Y[::2] *= 2
        return Y

def fft(X, N):
    if N == 1: return X
    else:
        K = (N - 1) // 2
        F = fft(X[K:], K)
        F = np.concatenate((F, F[:, ::-1]))
        return np.concatenate((X[:K], F))

# 测试序列
X = [1.0j, 2.0j, 3.0j]
print("Original sequence:", X)
print("Symmetric sequence:", dft(X))

在这个例子中，我们首先定义了一个dft函数，它接受一个复序列X并返回其DFT。然后，我们定义了一个fft函数，它接受一个复序列X以及一个整数N作为参数，并返回一个复序列Y，使得Y[k] = X[k] * e^(-2*pi*i*k/N)，其中i是虚数单位。最后，我们测试了两个序列：原始序列和对称序列，并打印出结果。