想知道数字设计逻辑中逻辑表达式的极小项和极大项的作用？

Question

极小项能最直接地表达SOP范式的输出，我的理解是通过与运算的特点，只要极小项中有一个数各位都为1就可以得出f值为1，这是我以为的“最值表达SOP范式的输出”，相应的极大项是通过或运算的特点表达POS的范式输出，这是我的理解，我想知道这样理解对不对。

另外书上说可以从极大项列表中获得POS范式，我觉得书上给的步骤很奇怪，三个步骤，其一将极大项列表十进制转化为二进制，极大项列表为（000，001，110，111），其二h(x,y,z)=反h的SOP表达式的反（符号我打不出来见谅），h(x,y,z)=（x的反与y的反与z的反+x的反y的反与z+x与y与z的反+x与y与z），这一步简直莫名奇妙，如果我知道SOP的表达式我为什么要用极大项列表求POS？如果他是想通过极大项列表得到SOP倒是有可能，毕竟可以通过极大项和极小项关系。嗯，是的，作者可能就是这么想的，也不是很莫名其妙。但是他需要规定1为x,0为x的反吧？这一点似乎不是特别重要，因为x的输入是固定的，不需要规定。第三步好懂我就不说了。

总之以上就是我总结我不懂地方的想法，我想知道它们是不是对的，如果是对的那么很奇怪，POS范式既然是与极大项列表等价的表达，为什么极大项列表还需要通过反h的SOP转换才能得到POS呢？不对，这样问也不妥，是不是因为极大项列表可以通过反h的SOP转换得到POS才说POS范式与极大项列表等价呢？

Answer 1

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首先，关于极小项和极大项对SOP和POS范式的表达的理解是正确的。极小项可以直接表达SOP范式的输出，因为只要极小项中有一个数各位都为1，对应的 minterm 就为1，从而得出整个函数的输出为1。同样，极大项可以直接表达POS范式的输出，因为只要极大项中有一个数各位都为0，对应的 maxterm 就为0，从而得出整个函数的输出为0。 关于书上提到的从极大项列表获得POS范式的问题，可能是因为极大项和极小项之间存在以下关系：一个极大项取反（反h）后得到的就是对应的极小项。因此，作者可能是想通过反h的SOP表达式的反转换来得到POS范式，利用了极大项和极小项之间的关系。虽然看起来有些麻烦，但是也是一种思路。 下面给出一个简单的例子来说明这个过程： 假设有一个函数，其极大项列表为{000, 001, 110}，对应的SOP表达式为f(x, y, z) = x'y'z' + x'y'z + xyz' 首先对极大项列表取反(h(x, y, z))得到的SOP表达式的反为h(x, y, z) = (x + y + z)(x + y' + z')(x' + y' + z') 然后再对SOP表达式的反进行化简，得到对应的POS表达式为f(x, y, z) = (x + y)(x + z)(y + z) 通过这个例子可以看到，通过极大项列表和反h的SOP表达式的反，确实可以得到对应的POS表达式。虽然这个方法看起来有些麻烦，但是确实是一种有效的途径来获得POS表达式。