matlab，求思路，过程， 答案

Question

请用解析方法求出抛物线y=2-x^2与直线y=0所围区域的面积表达式，然后采用蒙特卡罗方法仿真计算该区域的近似面积。

Answer 1

你好，同学！
解析方法你应该会的，自己手动积分就行啦，我这里给个符号求解方案作为解析解：
首先要确定左右两个端点即正负根号2，所以直接

syms x %定义符号
y = 2-x^2;  %写出符号表达式
S = int(y,x,-sqrt(2),sqrt(2)) %S即所求区域面积

即解析解为

S =
 
(8*2^(1/2))/3

下面讲蒙特卡洛模拟方法，这个要用到概率论的知识，即点落在所围区域的概率，等于区域面积除以大一点的矩形区域面积。我们知道这个所围区域是被x=-根号2，x=+根号2, y=0, y=2的一个矩形内，所以我们要生成在这个矩形内的随机均匀的n个点，然后统计满足y<2-x^2的点的个数m，m除以n就是面积之比，知道了矩形面积，就可以知道被围区域面积。

n = 1000;
x = 2*sqrt(2)*rand(n,1) - sqrt(2); % x坐标随机出现在x=-sqrt(2)到x=+sqrt(2)区间内
y = 2*rand(n,1); % y坐标随机出现在y=0到y=2区间内
q = y<2-x.^2; %判断物质点是否在所围的区域内，q是一个逻辑列向量，如果在对应的q是真（也即1），如果不在对应的q是假（也即0）
S_juxing = 2*sqrt(2)*2; %矩形面积
m = sum(q); %点在所围成区域出现的次数
S = S_juxing * m/n% m/n就是统计的概论，这样S就是所谓区域的面积

结果为

S =

   3.750494367413448

我们比较一些数值解和解析解
解析解化成小数为3.771236166328254，可见蒙特卡洛方法得到的结果跟解析解比较接近，如果蒙特卡罗方法的试验次数n取得足够大，精度还可以提高