微分方程模型的建立和求解

Question

在一个封闭的大草原里生活着大灰狼和小绵羊。虽然大灰狼凶残狡猾，但小羊并没有因为有大灰狼的捕食而灭绝，因为它们可以靠特有的技巧来保护自己。设t时刻它们的数量分别为 y(t)（大灰狼）和 x(t)（小绵羊），并满足以下条件:
1、没有大灰狼，小绵羊的净相对增长率为正常数k1，即没有天敌时，小绵羊的数量将以正的增长率增加；
2、没有小绵羊，大灰狼的净相对增长率为负常数-k2（k2>0），即没有食物时，意味着大灰狼将会被饿死，其数量以负增长率在减少；
3、小绵羊由于大灰狼的存在使增长率降低，降低的程度与大灰狼数量成正比；
4、大灰狼由于小绵羊为其提供食物使死亡率降低或使之增长，增长的程度与小绵羊的数量成正比。
根据上面信息，请完成下面任务
问题： 建立微分方程描述两物种数量随时间变化的模型（所需数据自理），并分析大灰狼和小绵羊的数量变化关系。
（PS：请不要让题主参考网上那篇狐狸野兔的文章，还是有一定区别的，请留下您的详细回答！谢谢。）

Answer 1

你好，根据题意，可以推导并列出方程如下：

不妨令k1 = 0.2; k2=0.04; k3=0.005; k4=0.0002;
编制如下matlab代码（初始绵羊和狼的数量是200只和20只）：

x0 = [200; 20];
k1 = 0.2; k2=0.04; k3=0.005; k4=0.0002;
tspan = [0, 300];
odefun = @(t, x)[(k1-k3*x(2))*x(1); (-k2+k4*x(1))*x(2)];
[t, x] = ode45(odefun, tspan, x0);
plot(t,x(:,1),'r-'); hold on;
plot(t,x(:,2),'b--')
legend('羊','狼')

绘图如下：