用Python动画证明采样定理（奈奎斯特定理）

Question

用Python编写程序，证明采样定理（香农采样定律、奈奎斯特采样定律）
请用动画描述这一定理。分为两种情况f s≥2f max和f s<2f max。
请对下边代码进行完善，使其符合要求，有动画效果

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成信号
Fmax = 20
t = np.linspace(0, 1, 1000)
signal = np.sin(2 * np.pi * Fmax * t)

# 采样
Fs1 = 20
Ts1 = 1 / Fs1
samples1 = np.sin(2 * np.pi * Fmax * np.arange(0, 1, Ts1))
Fs2 = 60
Ts2 = 1 / Fs2
samples2 = np.sin(2 * np.pi * Fmax * np.arange(0, 1, Ts2))
# 重建信号
reconstructed1 = np.zeros_like(t)
for i, s in enumerate(samples1):
    reconstructed1 += s * np.sinc(Fs1 * (t - i * Ts1))
reconstructed2 = np.zeros_like(t)
for i, s in enumerate(samples2):
    reconstructed2 += s * np.sinc(Fs2 * (t - i * Ts2))
# 绘图
fig, axs = plt.subplots(3, 2, figsize=(8, 6), sharex=True, sharey=False)
axs[0,0].plot(t, signal)
axs[0,0].set_title('Original Signal 1 ')
axs[1,0].stem(np.arange(0, 1, Ts1), samples1, use_line_collection=True)
axs[1,0].set_title('Samples 1 ')
axs[2,0].plot(t, reconstructed1)
axs[2,0].set_title('Reconstructed Signal 1 ')
axs[0,1].plot(t, signal)
axs[0,1].set_title('Original Signal 2 ')
axs[1,1].stem(np.arange(0, 1, Ts2), samples2, use_line_collection=True)
axs[1,1].set_title('Samples 2 ')
axs[2,1].plot(t, reconstructed2)
axs[2,1].set_title('Reconstructed Signal 2 ')
plt.tight_layout()
plt.show()
 

Answer 1

运行结果如下：

代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

#设置采样频率
fs = 80

#设置信号最高频率
fmax = 20

#生成连续信号
x = np.linspace(0, 1, 1000)
y = np.sin(2 * np.pi * fmax * x)

fig, axs = plt.subplots(nrows=2, ncols=3, figsize=(12, 8))

#初始化子图
axs[0, 0].set_title('Original Signal (fs >= 2fmax)')
axs[0, 1].set_title('Sampled Signal (fs >= 2fmax)')
axs[0, 2].set_title('Reconstructed Signal (fs >= 2fmax)')
axs[1, 0].set_title('Original Signal (fs < 2fmax)')
axs[1, 1].set_title('Sampled Signal (fs < 2fmax)')
axs[1, 2].set_title('Reconstructed Signal (fs < 2fmax)')

lines = []
for ax in axs.flatten():
    line, = ax.plot([], [])
    lines.append(line)

#设置动画参数
frames = np.arange(1, 6)
interval = 2000
repeat_delay = 5000

def update(frame):

#设置新的采样频率和最高频率
 global fs, fmax
 fs += 20
 fmax += 5
# 重新生成采样点和连续信号
n = np.arange(0, 1, 1 / fs)
y_sample = np.sin(2 * np.pi * fmax * n)
y = np.sin(2 * np.pi * fmax * x)

# 计算重构信号
t = np.linspace(0, 1, len(x))
y_reconstruct = np.zeros_like(t)
for i in range(len(n)):
    y_reconstruct += y_sample[i] * np.sinc(fs * (t - n[i]))

# 更新绘图
lines[0].set_data(x, y)
lines[1].set_data(n, y_sample)
lines[2].set_data(x, y_reconstruct)
lines[3].set_data(x, y)
lines[4].set_data(n, y_sample)
lines[5].set_data(x, y_reconstruct)

for ax in axs.flatten():
    ax.relim()
    ax.autoscale_view()
# 创建动画对象
ani = animation.FuncAnimation(fig, update, frames=frames, interval=interval, repeat_delay=repeat_delay)

# 显示动画
plt.show()

Answer 2

内容来源与ChatGpt4及newbing和百度：

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首先需要准备一个信号源，可以使用numpy生成一个正弦波信号。根据采样定理，需要将信号以一定的采样率进行采样，可以使用matplotlib的animation模块进行动画演示。根据采样定理，采样率需要大于信号中最高频率的两倍，因此需要注意设置采样率。

以下是一个简单的示例代码，演示了如何生成正弦波信号、进行采样并进行动画演示：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

# 生成正弦波信号
f = 5  # 正弦波频率
fs = 20  # 采样率
T = 1/fs  # 采样间隔
t = np.arange(0, 1, T)  # 时间序列
x = np.sin(2*np.pi*f*t)  # 信号

# 采样
n = np.arange(0, len(t), 1)  # 采样序列
xn = np.sin(2*np.pi*f*n*T)  # 采样信号

# 动画演示
fig, ax = plt.subplots()
ax.set_xlim((0, 1))
ax.set_ylim((-1.2, 1.2))
line, = ax.plot([], [], lw=2)

def init():
    line.set_data([], [])
    return (line,)

def animate(i):
    x_samples = xn[:i+1]
    t_samples = t[:i+1]
    line.set_data(t_samples, x_samples)
    return (line,)

ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, init_func=init, frames=len(n), interval=50, blit=True)

plt.show()

这段代码生成了一个频率为5Hz的正弦波信号，并以20Hz的采样率进行采样，并使用动画演示采样过程。可以看到，当采样率为20Hz时，信号能够被完整采样，因此可以还原原始信号。如果采样率过低，就会出现混叠，导致无法还原原始信号。

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祝您问题迎刃而解

Answer 3

由于题目中要求动画效果，可以考虑使用matplotlib.animation库实现。代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

# 生成信号
Fmax = 20
t = np.linspace(0,1,1000)
signal = np.sin(2 * np.pi * Fmax * t)

# 采样
Fs1 = 20
Ts1 = 1 / Fs1
samples1 = np.sin(2 * np.pi * Fmax * np.arange(0,1,Ts1))

Fs2 = 60
Ts2 = 1 / Fs2
samples2 = np.sin(2 * np.pi * Fmax * np.arange(0,1,Ts2))

# 重建信号
def sinc_interp(s_samples, s_Fs, s_t):
    s_reconstructed = np.zeros_like(s_t)
    for i, s in enumerate(s_samples):
        s_reconstructed += s * np.sinc(s_Fs * (s_t - i * s_Fs))
    return s_reconstructed

# 创建动画效果
fig, axs = plt.subplots(3, 2, figsize=(8,6))
axs[0,0].plot(t, signal)
axs[1,0].stem(np.arange(0, 1, Ts1), samples1)
line1, = axs[2,0].plot([], [])
axs[0,1].plot(t, signal)
axs[1,1].stem(np.arange(0, 1, Ts2), samples2)
line2, = axs[2,1].plot([], [])

def animate(i):
    reconstructed1 = sinc_interp(samples1[:i], Fs1, t)
    line1.set_data(t, reconstructed1)
    reconstructed2 = sinc_interp(samples2[:i], Fs2, t)
    line2.set_data(t, reconstructed2)
    return line1, line2

ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, frames=100, interval=50, blit=True)

# 设置图像标题和标签
axs[0,0].set_title('Original Signal 1')
axs[1,0].set_title('Samples 1')
axs[2,0].set_title('Reconstructed Signal 1 (Fs<Fmax)')
axs[0,1].set_title('Original Signal 2')
axs[1,1].set_title('Samples 2')
axs[2,1].set_title('Reconstructed Signal 2 (Fs>Fmax)')

plt.tight_layout()
plt.show()

在这段代码中，我们定义了一个函数sinc_interp，该函数用于对采样之后的信号进行插值重构。在主程序中，我们首先创建子图axs，并绘制原始信号和采样信号。然后，我们使用FuncAnimation模块创建动画效果，通过每帧调用animate函数来更新重构后的信号显示。最后，我们在图像标题和标签中添加了更详细的说明，以帮助读者更好地理解采样定理的工作原理。

运行代码，即可看到动画效果，观察不同采样频率下的信号重构情况，验证采样定理的正确性。