已知向量的协方差矩阵，如何表示出该向量

Question

在阵列信号处理中，若已知发射信号的协方差矩阵为单位阵I，怎么求出x(t)?

Answer 1

根据参考资料中的段落0和段落2，我们可以通过已知的向量协方差矩阵来进行奇异值分解，从而得到奇异值和奇异向量。对于一个单位阵来说，它的奇异值为1，奇异向量为单位向量。因此，在这个特殊情况下，我们可以直接得到原始向量的表达式，即 x(t) = U_r * z(t)，其中 U_r 为单位阵的前 k 个特征向量形成的矩阵，而 z(t) 为 x(t) 在奇异向量上的投影值。

具体代码如下：

% 假设现有向量协方差矩阵为单位阵 I，需要求解表示向量 % 首先进行奇异值分解 [U,S,V] = svd(eye(n)); % n 为向量的维度，这里的向量协方差矩阵为单位阵 % 得到单位阵的前 k 个特征向量 U_r = U(:,1:k); % 对于每个向量 x(t)，计算其在奇异向量上的投影值 z(t) z_t = U_r' * x_t; % 计算表示向量 x(t) 的矩阵 x_t_representation = U_r * z_t;

需要注意的是，这里我们假设向量协方差矩阵为单位阵，因此我们可以直接得到单位阵的前 k 个特征向量。如果向量协方差矩阵不是单位阵，我们需要先计算协方差矩阵，再进行奇异值分解来得到特征向量。