直接配点法相关的问题

Question

我在看直接配点法的例程，在正是求解之前看到一段代码是这样的（matlab内）,实在搞不清楚这个的原理是啥

d=3;
y_base=0;
%get collocation points
% cp1*x^3+cp2*x^2+cp1*x+y_base
tau_root=[y_base collocation_points(d, 'legendre')];
%coefficients of collocation equation
C=zeros(d+1,d+1);
%coes of the continuity equation
D=zeros(d+1,1);
%coes of quadrature(正交，求积，面积) function
B=zeros(d+1,1);
%construct polinomial 看不懂... ...
%遍历多项式参数
for j=1:(d+1)
    %缩放参数？A：不是
    %其实就是因为要乘积，初始值
    coeff=1;
    %再次遍历，这说明是卷积类似的操作0731YH
    for r=1:(d+1)
        if r~=j
            %conv卷积 等于两个多项式相乘后结果的系数
            coeff=conv(coeff, [1, -tau_root(r)]); 
            coeff=coeff/(tau_root(j)-tau_root(r));%1*2
        end
    end
    D(j)=polyval(coeff, 1.0); %系数的和,高次在前 1*1

    pder=polyder(coeff); %多项式微分
    for r=1:(d+1)
        C(j,r)=polyval(pder,tau_root(r));
    end

    pint=polyint(coeff); %多项式积分
    B(j)=polyval(pint, 1.0);
end

Answer 1

以下内容引用自GPT，有用望采纳：

这段代码是用于构建多项式的相关计算和系数的求解。我将逐行解释代码的功能和操作，以帮助您理解。

d=3;
y_base=0;
tau_root=[y_base collocation_points(d, 'legendre')];

在这段代码中，我们首先定义了变量d和y_base。d表示多项式的阶数，y_base是基础值。然后，我们使用函数collocation_points()生成一个包含插值点的向量tau_root，这些点用于构建多项式。

C=zeros(d+1,d+1);
D=zeros(d+1,1);
B=zeros(d+1,1);

这里我们创建了三个矩阵C、D和B，用于存储求解多项式过程中的系数。

for j=1:(d+1)
    coeff=1;
    for r=1:(d+1)
        if r~=j
            coeff=conv(coeff, [1, -tau_root(r)]);
            coeff=coeff/(tau_root(j)-tau_root(r));
        end
    end
    D(j)=polyval(coeff, 1.0);
    
    pder=polyder(coeff);
    for r=1:(d+1)
        C(j,r)=polyval(pder,tau_root(r));
    end
    
    pint=polyint(coeff);
    B(j)=polyval(pint, 1.0);
end

这里是主要的计算部分，使用循环逐个求解多项式的系数。首先，我们以变量j为索引遍历多项式参数。

在每个迭代中，我们首先将初始系数coeff设置为1。然后，我们使用内置函数conv()将coeff与多项式 [1, -tau_root(r)] 进行卷积操作，计算多项式相乘得到的结果的系数。我们还根据插值点tau_root(j)和tau_root(r)的差值对系数进行缩放。

接下来，我们使用函数polyval()计算在x=1.0处求解多项式的值，并将结果储存在向量D中。

然后，我们使用函数polyder()对多项式进行微分操作，得到多项式的导函数。然后，我们再次遍历插值点，使用函数polyval()计算在每个插值点处导函数的值，并将结果存储在矩阵C中。

最后，我们使用函数polyint()进行多项式的积分操作，得到多项式的原函数。然后，我们再次在x=1.0处使用函数polyval()计算原函数的值，并将结果存储在向量B中。

最终，循环执行完毕后，我们将得到一个包含多项式系数的矩阵C、一个包含多项式值的向量D，以及一个包含多项式的积分值的向量B。

希望这个解释能够帮助您理解这段代码的功能和操作。如果您还有其他问题，请随时提问。