matlab 求小行星轨迹

Question

     天文学家为了确定某行星的运行轨道，在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，
 取天文测量单位AU（一个天文测量单位为地球到太阳的平均距离，约为1.4960×10米）为
 坐标轴上的坐标刻度，并在5个不同的时间对小行星作了5次观测，测得轨道上5个位置在此
 坐标系下的坐标如表1所示

     由开普勒第一定理可知，小行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆，可以设椭圆的一般方程
 为
                       ax²+2a2xy+ay²+2aax+2asy+1=0
 试确定该小行星的轨道方程

Answer 1

确定小行星的轨道方程需要用到观测数据和开普勒第一定律。开普勒第一定律指出，行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。根据这个定律，我们可以将小行星的轨道方程表示为一般形式的椭圆方程。

根据题目中给出的观测数据，我们可以列出以下方程组：

x1²/a² + 2x1y1/a² + y1²/b² + 2x1c/a + 2y1d/a + 1 = 0
x2²/a² + 2x2y2/a² + y2²/b² + 2x2c/a + 2y2d/a + 1 = 0
x3²/a² + 2x3y3/a² + y3²/b² + 2x3c/a + 2y3d/a + 1 = 0
x4²/a² + 2x4y4/a² + y4²/b² + 2x4c/a + 2y4d/a + 1 = 0
x5²/a² + 2x5y5/a² + y5²/b² + 2x5c/a + 2y5d/a + 1 = 0

其中，(xi, yi) 是观测数据，a、b、c 和 d 是待确定的参数。根据开普勒第一定律，a 和 b 表示椭圆的长半轴和短半轴，c 和 d 表示焦点到中心的距离。

要确定这些参数，我们可以使用最小二乘法来拟合观测数据到椭圆方程。具体来说，我们需要最小化每个观测点到椭圆方程的点到点距离的平方和。通过求解这个最小化问题，我们可以得到椭圆方程的参数。

以下是使用 MATLAB 实现这个过程的示例代码：

% 观测数据
x = [1, 3, 5, 7, 9]; % x坐标
y = [1, 2, 3, 4, 5]; % y坐标

% 椭圆方程参数的初始值
a = 1; b = 1; c = 0; d = 0;

% 利用观测数据拟合椭圆方程
f = @(p) p(1)*x.^2 + 2*p(2)*x.*y + p(3)*y.^2 ...
    + p(4)*x + p(5)*y - (p(4).^2/(p(1).^2+p(3).^2)) ...
    - (p(5).^2/(p(1).^2+p(3).^2)) - (p(4).*p(5)/(p(1).^2+p(3).^2));
f_prime = @(p) [...]; % 导数矩阵
f_value = f(c=[a, b, c, d]); % f值矩阵
f_jacobian = f_prime(c=[a, b, c, d]); % Jacobian矩阵
% 使用共轭梯度法求解最小化问题
options = optimoptions('cg', 'MaxIter', 100);
[a, b, c, d] = fminunc(f, [a, b, c, d], options);

% 输出结果
fprintf('椭圆的长半轴：%f\n', a);
fprintf('椭圆的短半轴：%f\n', b);
fprintf('焦点到中心的距离：%f\n', c);
fprintf('焦点到中心的距离：%f\n', d);