最优化方法最速下降法和牛顿法

Question

用最速下降法、牛顿法和阻尼牛顿法三种方法计算 f = 4x1 ** 2 + x2 ** 2 -8x1 - 4*x2

Answer 1

m0_69473531 晚上好🌙🌙🌙
本答案参考ChatGPT-3.5

要计算函数 f = 4x1 ** 2 + x2 ** 2 -8x1 - 4*x2 的最优化问题，我们可以使用最速下降法、牛顿法和阻尼牛顿法三种方法。

最速下降法的解决方案：

1. 初始化变量x1和x2的初始值。
2. 在每一步迭代中，计算梯度向量g = ∇f(x)。
3. 更新变量x：x = x - α * g，其中α是学习率。
4. 重复步骤2和步骤3，直到收敛。

牛顿法的解决方案：

1. 初始化变量x1和x2的初始值。
2. 在每一步迭代中，计算梯度向量g = ∇f(x)和Hessian矩阵H = ∇²f(x)。
3. 通过求解线性方程组 H * Δx = -g，计算更新步长Δx。
4. 更新变量x：x = x + Δx。
5. 重复步骤2到步骤4，直到收敛。

阻尼牛顿法的解决方案：

1. 初始化变量x1和x2的初始值。
2. 在每一步迭代中，计算梯度向量g = ∇f(x)和Hessian矩阵H = ∇²f(x)。
3. 添加阻尼项μI到Hessian矩阵中，即Hd = H + μI，其中I是单位矩阵，μ是阻尼因子。
4. 通过求解线性方程组 Hd * Δx = -g，计算更新步长Δx。
5. 更新变量x：x = x + Δx。
6. 如果更新后的函数值f(x)小于原始函数值f(x)，则减小阻尼因子μ；否则增大阻尼因子μ。
7. 重复步骤2到步骤6，直到收敛。

以下是使用Python代码实现最速下降法、牛顿法和阻尼牛顿法的示例：

import numpy as np

def f(x):
    return 4 * x[0] ** 2 + x[1] ** 2 - 8 * x[0] - 4 * x[1]

def grad_f(x):
    return np.array([8 * x[0] - 8, 2 * x[1] - 4])

def hessian_f(x):
    return np.array([[8, 0], [0, 2]])

def steepest_descent(x_init, learning_rate, num_iterations):
    x = x_init
    for i in range(num_iterations):
        gradient = grad_f(x)
        x = x - learning_rate * gradient
    return x

def newton_method(x_init, num_iterations):
    x = x_init
    for i in range(num_iterations):
        gradient = grad_f(x)
        hessian = hessian_f(x)
        delta_x = -np.linalg.inv(hessian).dot(gradient)
        x = x + delta_x
    return x

def damped_newton_method(x_init, num_iterations):
    x = x_init
    learning_rate = 1.0
    for i in range(num_iterations):
        gradient = grad_f(x)
        hessian = hessian_f(x)
        dampened_hessian = hessian + learning_rate * np.eye(len(x))
        delta_x = -np.linalg.inv(dampened_hessian).dot(gradient)
        new_x = x + delta_x
        new_f = f(new_x)
        if new_f < f(x):
            x = new_x
            learning_rate /= 2
        else:
            learning_rate *= 2
    return x

# 测试使用最速下降法、牛顿法和阻尼牛顿法求解最优化问题
x_init = np.array([0, 0])
learning_rate = 0.1
num_iterations = 100

steepest_descent_result = steepest_descent(x_init, learning_rate, num_iterations)
newton_method_result = newton_method(x_init, num_iterations)
damped_newton_method_result = damped_newton_method(x_init, num_iterations)

print("Steepest Descent Method Result:", steepest_descent_result)
print("Newton Method Result:", newton_method_result)
print("Damped Newton Method Result:", damped_newton_method_result)

请注意，以上代码仅是示例，实际运行时可能需要根据具体问题进行调整。另外，如果在实际应用中需要找到全局最优解，可能需要考虑使用其他更复杂的优化方法。