最优化问题最速下降法和牛顿法

Question

分别用最速下降法、牛顿法和阻尼牛顿法求函数f=3*(x1)^2+2*(x2)^2-4x1-6x2极小值，显示迭代次数和目标函数值

Answer 1

下午好🌅🌅🌅
本答案参考ChatGPT-3.5

问题中给出的目标函数是f=3*(x1)^2+2*(x2)^2-4x1-6x2。

最速下降法和牛顿法是常用的最优化算法，可以用于求解函数的极小值。

最速下降法的基本思想是，从初始点开始，沿着目标函数的负梯度方向进行迭代，直到满足停止准则。这个过程中，每一步都选择使得目标函数下降最快的方向。

牛顿法的基本思想是，在当前点附近用二次曲面来近似目标函数，然后求这个二次曲面的极小值点作为目标函数的极小值点。它利用了目标函数的二阶导数信息，收敛速度比最速下降法更快。牛顿法每次迭代时，都要计算目标函数的一阶导数和二阶导数。

在阻尼牛顿法中，为了避免牛顿法可能出现的数值不稳定和发散问题，引入了阻尼因子进行调整。阻尼牛顿法使用了牛顿法的思想，但在迭代更新的过程中，采用了一种平滑因子来调整步长。阻尼牛顿法的迭代更新公式为 x_{k+1} = x_k + αp_k，其中α为步长因子，p_k为牛顿方向。

解决函数f的极小值问题，可以按照以下步骤进行：

最速下降法：

1. 初始化x0，设置迭代停止条件。
2. 计算目标函数的负梯度g0=-∇f(x0)。
3. 计算步长因子α。
4. 更新迭代点xk+1 = xk + α*gk。
5. 如果满足停止准则，则输出最优解x*，否则返回第2步。

牛顿法：

1. 初始化x0，设置迭代停止条件。
2. 计算目标函数的一阶导数g0 = ∇f(x0)和二阶导数H0 = ∇^2 f(x0)。
3. 计算牛顿方向p0 = -H0^-1 * g0。
4. 计算步长因子α。
5. 更新迭代点xk+1 = xk + α*p0。
6. 如果满足停止准则，则输出最优解x*，否则返回第2步。

阻尼牛顿法：

1. 初始化x0，设置迭代停止条件。
2. 计算目标函数的一阶导数g0 = ∇f(x0)和二阶导数H0 = ∇^2 f(x0)。
3. 计算牛顿方向p0 = -H0^-1 * g0。
4. 计算步长因子α。
5. 更新迭代点xk+1 = xk + α*p0。
6. 如果满足停止准则，则输出最优解x*，否则返回第2步。

需要注意的是，具体的步长因子计算和停止准则的设置需要根据具体问题进行调整。

示例代码实现： 最速下降法：

import numpy as np

def gradient_descent(f, df, x0, alpha, epsilon, max_iter):
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        g = df(x)
        x_new = x - alpha * g
        if np.linalg.norm(x_new - x) < epsilon:
            break
        x = x_new
    return x

def f(x):
    return 3 * x[0]**2 + 2 * x[1]**2 - 4 * x[0] - 6 * x[1]

def df(x):
    return np.array([6 * x[0] - 4, 4 * x[1] - 6])

x0 = np.array([0, 0])
alpha = 0.1
epsilon = 1e-5
max_iter = 1000

result = gradient_descent(f, df, x0, alpha, epsilon, max_iter)
print("最速下降法得到的最优解为：", result)

牛顿法：

import numpy as np

def newton_method(f, df, d2f, x0, alpha, epsilon, max_iter):
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        g = df(x)
        H = d2f(x)
        p = -np.linalg.inv(H) @ g
        x_new = x + alpha * p
        if np.linalg.norm(x_new - x) < epsilon:
            break
        x = x_new
    return x

def f(x):
    return 3 * x[0]**2 + 2 * x[1]**2 - 4 * x[0] - 6 * x[1]

def df(x):
    return np.array([6 * x[0] - 4, 4 * x[1] - 6])

def d2f(x):
    return np.array([[6, 0], [0, 4]])

x0 = np.array([0, 0])
alpha = 0.1
epsilon = 1e-5
max_iter = 1000

result = newton_method(f, df, d2f, x0, alpha, epsilon, max_iter)
print("牛顿法得到的最优解为：", result)

阻尼牛顿法：

import numpy as np

def damped_newton_method(f, df, d2f, x0, alpha, beta, epsilon, max_iter):
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        g = df(x)
        H = d2f(x)
        p = -np.linalg.inv(H) @ g
        alpha = 1
        while f(x + alpha * p) >= f(x):
            alpha *= beta
        x_new = x + alpha * p
        if np.linalg.norm(x_new - x) < epsilon:
            break
        x = x_new
    return x

def f(x):
    return 3 * x[0]**2 + 2 * x[1]**2 - 4 * x[0] - 6 * x[1]

def df(x):
    return np.array([6 * x[0] - 4, 4 * x[1] - 6])

def d2f(x):
    return np.array([[6, 0], [0, 4]])

x0 = np.array([0, 0])
alpha = 1.0  # 初始步长因子
beta = 0.5  # 阻尼因子
epsilon = 1e-5
max_iter = 1000

result = damped_newton_method(f, df, d2f, x0, alpha, beta, epsilon, max_iter)
print("阻尼牛顿法得到的最优解为：", result)

以上代码仅为示例，具体的步长因子和停止准则需要根据实际问题进行调整。